一、空间向量及其运算、空间直角坐标系。
1 空间向量的基本知识。
1）向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
2）共线向量定理：
对空间任意两个向量a、b(b≠0), a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb。
3）共面向量定理：
如果两个向量a、b不共线，向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使p=xa+yb.
4）空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc。
5）空间两向量的夹角：
6）两向量的数量积：
运算律： 2（1）空间两点的距离公式：、
2）关于对称点坐标的求法：
3）向量的坐标运算：
a（x1,y1,z1）,b(x2,y2,z2)，则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
若a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)，则a+ b=（a1+ b1），a2+ b2，a3+ b3），；a- b=（a1- b1），a2- b2，a3-b3），；
a∥ba、b的坐标对应成比例；
例1 已知正方体的棱长为1，，点n为b1b的中点，则|mn|=(
例2 已知a=（2，-1,3），b=（1,0，-2）（1）计算a-2b；（2）是否存在实数λ，使a+λb
与z轴垂直，若存在求之；若不存在，说明你的理由。
例3 在棱长为1的正方体中，m、n分别为a1b1和bb1的中点，那么直线am与cn所成的角的余弦值等于（ ）
二立体几何中的向量方法。
1 平面的法向量：a，那么向量a叫做平面的法向量。
法向量的求法：
2 利用空间向量解决立体几何中的平行与垂直问题。
1）两条直线平行两直线的方向向量是共线向量。
2）线面平行直线的方向向量与平面的法向量垂直；能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量。
3）面面平行转化为线线平行、线面平行处理；两平面的法向量平行。
4）线线垂直两直线的方向向量互相垂直。
5）线面垂直直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；直线与平面内的两个吧共线的向量垂直。
6）面面垂直转化为线线垂直、线面垂直处理；两平面的法向量互相垂直。
3 利用空间向量求角。
1）线线角：两异面直线a,b所成的角为两直线方向向量所成的角或其补角。
2）线面角：斜线与平面法向量所成的角（或其补角）的余角。
3）二面角：两平面法向量所成的角或其补角。
4 利用向量处理距离问题。
1）两点距离：
2）点线距离：
3）点面距离：d=（a是平面外一点，b是平面上任意一点）
4）异面直线间的距离d=（a是直线a上一点，b是直线b上一点，是直线a、b的公垂向量）
例4 在正方体中，g、e、f分别为aa1、ab、bc的中点，求平面gef的法向量。
例5 正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直，ceac,ef∥ac,ab=,ce=ef=1.(1)求证：af∥平面bde;
2)求证：cf平面bde; （3）求二面角a-be-d的大小。
例6 已知点p在正方体的对角线bd’上，。（1）求dp与cc’所成角的大小；
2）求dp与平面aa’d’d所成角的大小。
练习。1 已知是空间一个基底，p=a+b,q=a-b,一定可以与向量p、q构成空间另一基底的是。
a. ab. bc. cd.无法确定。
2 已知a(2，-5，1),b(2，-2，4),c(1，-4，1),则与的夹角为（ ）
a. 30b. 45c. 60d. 90°
3 在直三棱柱abc-a1b1c1中，aa1=bc=ab=2，abbc,求二面角b1-a1c-c1的大小。
4 在四棱锥p-abcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd,pa=ad=4，ab=2.以bd的中点o为球心、bd为直径的球面交pd于点m。（1）求证：
平面abm平面pcd;(2)求直线pc与平面abm所成的角的正弦值；（3）求点o到平面abm的距离。
空间向量与立体几何参***。
例1 a例2 （1）（0，-1,7） （2）
例3 d例4 （1,1,1）（不唯一）
例5 （1）∥
例6 （1）452）30°
练习。1. c 2. c
4 (1)略
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