教师寄语：拿望远镜看别人，拿放大镜看自己。
编写： 雷义平组长审核年级审核。
时间班组学生姓名。
一、学习目标：
1.熟练掌握空间向量的四种运算（包括坐标形式）
2.能灵活选择向量法、坐标法解决立体几何问题。
二、学习重难点：
重点： 利用向量解决立体几何问题
难点： 法向量的确定，角的转化。
三、学习过程：
第一部分阅读导学。
知识梳理：1．用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法：
1)线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
2)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，即⊥·＝0.
3)线面平行
证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量，
利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．
4)线面垂直
证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
5)面面平行
证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； 转化为线面平行、线线平行问题．
6)面面垂直
证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题。
2．运用空间向量求空间角
1)求两异面直线所成角
利用公式cos〈，〉但务必注意两异面直线所成角θ的范围是，故实质上应有：cosθ＝|cos〈，〉
2)求线面角
求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ.即可求出直线与平面所成的角θ其关系是sinθ＝|cosφ|.
3)求二面角
用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．
3．运用空间向量求空间距离
空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．
1）点与点的距离
点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．
2）点与面的距离
点与面距离的求解步骤是：
求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．
3）两异面直线的距离转化为点与面的距离来求解。
4）问题一： 空间非零向量2＝ ；
问题二： 设＝(a1，a2，a3)，＝b1，b2，b3)，则。
12) cos
问题三：进行空间向量的线性运算，首先要选取适当的基底，选取基底的一般原则是什么？
第二部分自学检测。
1、 给出下列命题：
若＝，则必有a与c重合，b与d重合，ab与cd为同一线段；
若a·b<0，〈a，b〉是钝角；
若a是直线l的方向向量，则λa(λ∈r)也是l的方向向量；
非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面．
其中错误命题的个数是。
a．1 b．2 c．3 d．4
2. 如图，在棱长为2的正方体abcd－a1b1c1d1中，m为bc的中点，n为ab的中点，p为bb1的中点．(ⅰ求证：bd1⊥b1c；(ⅱ求证：bd1⊥平面mnp．
3、如图所示，已知abcd是正方形，过a作ap⊥平面abcd，且ap＝ab＝a，m，n分别为bp、ac的中点．
1)求证mn⊥cd； (2)求二面角m－bn－c的大小的余弦值．
第三部分合作**。
1、已知四棱锥的底面为直角梯形，ab//cd，，pa底面abcd，且pa=ad=dc=，ab=1，m是pb的中点。
1）证明：平面pad平面pcd
2）求ac与pb所成的角余弦值的大小。
3）求平面amc与平面bmc所成二面角余弦值的大小。
3、已知棱长为1的正方体e，f分别是和中点。
1）求点到平面bdfe的距离；
2）求直线到平面bdfe所成的角。
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