一、知识小结。
1、空间向量及其运算：
1）空间中的平行（共线）条件：
2）空间中的共面条件：共面（不共线）
推论：对于空间任一点和不共线三点、、，则四点、、、共面。
3）空间向量分解定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量。
4）空间向量的加、减、数乘、数量积定义及运算。
若，则： 2、空间向量在立体几何证明中的应用：
1）证明，即证明。
2）证明，即证明。
3）证明（平面）（或在面内），即证明垂直于平面的法向量或证明与平面内的基底共面；
4）证明，即证明平行于平面的法向量或证明垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；
5）证明两平面（或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；
6）证明两平面，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在内一个面内。
3、空间向量在立体几何求值中的应用：
二、巩固练习。
1．如图，空间四边形abcd中，m、g分别是bc、cd的中点，则等于（ ）
a． b．
c． d．
2．直三棱柱abc—a1b1c1中，若，，，则（ ）
ab． c． d．
3．已知a,b,c三点不共线，对平面abc外的任一点o，下列条件中能确定点m与点a,b,c一定共面的是（ ）
a． b．c． d．
4．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正。
方形，若，且，则的长为。
abc． d．
5.设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（ ）
a． b． c． d．
6.下列命题：（1）空间向量，共线的充要条件是；（2）空间任意一点和不共线的三点满足，则四点共面；（3）若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直。其中正确的命题序号是。
7．设是空间向量，则 “，是“共面”的（ ）
a．充分非必要条件b．必要非充分条件c．充要条件 d．既非充分也非必要条件。
8．向量，与其共线且满足的向量是。
a． b．（4，－2，4） c．（－4，2，－4） d．（2，－3，4）
9.若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,1)，a与b的夹角为60°，则λ的值为。
a.17或－1 b.－17或1 c.－1 d.1
10．已知的值分别为（ ）
a． b．5,2cd．-5,-2
11.已知，当取最小值时，的值等于（ ）
a． b．－ c．19 d．
12.已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ）
a．1b． c． d．
13.已知空间三点，，，若向量分别与，垂直，则向量的坐标为。
14. 点p在正方形abcd所在平面外，pa⊥平面abcd，pa＝ab，则pb与ac所成的角是( )
a．90° b．60° c．45° d．30°
15.在棱长为的正方体中，与所成的角为 ．
16．三棱锥中，两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
17．在正方体中，直线与平面所成角的大小为。
18．在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为，则二面角的余弦值为（ ）
a． b． c． d．
19．如右图，为正方体，棱长为2，下面结论中。
正确的结论是把你认为正确的结论都填上， 填序号)
∥平面； ②平面；
过点与异面直线ad和成90°角的直线有2条；
三棱锥的体积．
20. 在棱长为1的正方体中， 则平面与平面cb1d1所成角余弦值为。
21．如图，长方体abcd—a1b1c1d1中，aa1=ab=2，ad=1，点e、f、g分别是dd1、ab、cc1的中点，则异面直线a1e与gf所成角的余弦值是。
a． b．
c． d．0
22.已知，，，分别是平面，的法向量，则平面，的位置关系式（ ）
a．平行 b．垂直 c．所成的二面角为锐角 d．所成的二面角为钝角。
23. (本小题满分12分)
如图，四棱锥的底面为一直角梯形，其中，底面，是的中点．（1）求证： /平面；
2）若平面，求二面角的。
余弦值．24. （本小题满分12分）如图在四棱锥中，丄平面，丄，丄， ,建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题：
1)证明； (2)求二面角的余弦值；
3)设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长。
25.（本小题满分10分）
如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱),底面中 ，棱，分别为d的中点。
（）求》的值；
（）求证：
（）求。26．（本小题满分12分）
已知四棱锥的底面为直角梯形，， 底面，且， ，是的中点。
ⅰ）证明：面面；
ⅱ）求与所成的角；（ⅲ求面与面所成二面角的大小余弦值。
27．（12分）在如图所示的空间直角坐标系o－xyz中，原点o是bc的中点，a点坐标为，d点在平面yoz上，bc = 2，∠bdc = 90°，∠dcb = 30°.
（ⅰ）求d点坐标； （求的值。
28．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥p—abcd中，底面abcd是边长为1的菱形，，底面abcd，pa=2，m为pa的中点，n为bc的中点。af⊥cd于f，如图建立空间直角坐标系。
（ⅰ）求出平面pcd的一个法向量并证明mn//平面pcd； （求二面角p—cd—a的余弦值。
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