一．知识归纳。
1．空间向量及其运算。
1）空间中的平行（共线）条件：
2）空间中的共面条件：共面（不共线）
推论：对于空间任一点和不共线三点、、，若，则四点、、、共面。
3）空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量。
4）空间向量的坐标运算。若，则：
2．空间向量在立体几何证明中的应用。
3）垂直于平面的法向量或证明与平面内的基底共面；
4）平行于平面的法向量或垂直于平面内的两条相交的直线所在的向量；
5）两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；
6）两平面的法向量垂直或一个面的垂线（或法向量）在另一个面内。
3．空间向量在立体几何求值中的应用。
二、当堂训练。
1.若、、为任意向量，下列命题是真命题的是 (
a．若，则b．若，则
c． d．若，且与夹角为，则。
2. (1)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a+b互相垂直，则k的值是。
2)若向量a=(1, 0)，b=(2,0,0)且a与b的夹角为，则等于。
3)设a＝(x,2y,3)，b＝(1,1,6)，且a∥b，则x＋y等于。
3. 若，且的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
a. b. c. d.
4.设，则与平行的单位向量的坐标为同时垂直于的单位向量。
5.已知，则的最小值是
6.空间四边形abcd中，，点m在oa上，且om=2ma，n为bc中点，则=(
a． b． c． d．
7.已知平面与所成二面角为，为外一定点，过点一条直线与所成的角都是，则这样的直线有且仅有___条。 4
8.设a、b、c、d是空间不共面的四点，且满足，则△bcd是（ ）
a．钝角三角形 b．直角三角形 c．锐角三角形 d．不确定。
三、强化训练。
1.已知a、b、c三点不共线，对平面abc外的任一点o，下列条件中能确定点m与点a、b、c一定共面的是（ ）
a． b．
c． d．
2.已知空间四面体的每条边都等于1，点分别是的中点，则等于（ ）
abcd．
3．已知a1b1c1—abc是直三棱柱，∠bca=90°，点d1、f1分别是a1b1、a1c1的中点，若bc=ca=cc1，则bd1与af1所成角的余弦值是（ a ）
a． b． c． d．
4．是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．点到平面距离（ a ）
a． b． c． d．
5.已知正四棱柱中，为的中点，则直线与平面的距离为（ d ）
a．2 b． c． d．1
6．直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，d，e分别是与的中点，点e在平面abd上的射影是的重心g．则与平面abd所成角的余弦值（ b ）
a． bc． d．
7．已知棱长为1的正方体abcd－a1b1c1d1中，e是a1b1的中点，求直线ae与平面abc1d1所成角的正弦值。
8.如图，在四棱锥中，丄平面，丄，丄， ,
ⅰ)证明丄；
ⅱ)求二面角的正弦值；
ⅲ)设e为棱上的点，满足异面直线be与cd所成的角为，求ae的长。
8.如图，四棱锥中，底面为菱形，底面， ,是上的一点，.
1)证明：平面；
2)设二面角为，求与平面所成角的大小。
如图，四面体abcd中，o、e分别是bd、bc的中点，i）求证：平面bcd；
ii）求异面直线ab与cd所成角的大小；
iii）求点e到平面acd的距离。
如图所示，在底面是菱形的四棱锥p-abcd中，∠abc=60,pa=ac=a,pb=pd=,点e在pd上，且pe：ed=2：1.
1)证明：pa⊥平面abcd；
2)求以ac为棱，eac与dac为面的二面角θ的大小；
3)棱pc上是否存在一点f,使bf∥平面aec?证明你的结论。
22、解：（1）∵pa=ac=a，pb=pd=
pa⊥ab且pa⊥ad，pa⊥平面abcd，2）∵底面abcd是菱形，∴ac⊥bd，设ac∩bd=o，以o为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：
点e在pd上，且pe：ed=2：1. ∴即： ，即点e的坐标为。
又平面dac的一个法向量为。
设平面eac的一个法向量为，
由，得。由图可知二面角e-ac-d的大小为。
3）设在cp上存在点f，满足题设条件，由，得。
依题意，则有。
点f为pc中点时，满足题设条件。
（ 2024年高考（四川理））如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是。
19.（本小题满分12分）
2024年高考（新课标理））如图，直三棱柱中， ,是棱的中点，
1)证明：
2)求二面角的大小。
如图，直三棱柱abc-a1b1c1中，ac=bc=aa1，d是棱aa1的中点，dc1⊥bd。
(1)证明：dc1⊥bc；
(2)求二面角a1-bd-c1的大小。
19）【解析】（1）在中，
得： 同理：
得：面。2）面。
取的中点，过点作于点，连接。
面面面。得：点与点重合。
且是二面角的平面角。
设，则， 既二面角的大小为。
18)（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥p-abcd的底面为等腰梯形，abcd,acbd，垂足为h，ph是四棱锥的高 ，e为ad中点。
1） 证明：pebc
2） 若apb=adb=60°，求直线pa与平面peh所成角的正弦值。
18（2009）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点m在侧棱上， =60°
i）证明：m在侧棱的中点。
ii）求二面角的大小。
29（2024年高考（天津理））如图，在四棱锥中，丄平面，丄，丄， ,
ⅰ)证明丄；
ⅱ)求二面角的正弦值；
ⅲ)设e为棱上的点，满足异面直线be与cd所成的角为，求ae的长。
命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、异面直线所成的角，直线与平面垂直等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。
方法一：（1）以为正半轴方向，建立空间直角左边系。
则。2），设平面的法向量。
则取。是平面的法向量。
得：二面角的正弦值为。
3）设；则，即。
37（2024年高考（山东理））在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥,平面。
ⅰ)求证：平面；
ⅱ)求二面角的余弦值。
38（2024年高考（辽宁理）） 如图，直三棱柱，点m,n分别为和的中点。
ⅰ)证明：∥平面；
ⅱ)若二面角为直二面角，求的值。
39（2024年高考（江西理））在三棱柱中，已知，在在底面的投影是线段的中点。
1)证明在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；
2)求平面与平面夹角的余弦值。
44（2024年高考（福建理））如图，在长方体中为中点。
ⅰ)求证：
ⅱ)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由。[
ⅲ)若二面角的大小为，求的长。
45（2024年高考（大纲理））(注意：在试题卷上作答无效)如图，四棱锥中，底面为菱形，底面， ,是上的一点，.
1)证明：平面；
2)设二面角为，求与平面所成角的大小。
命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。
从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。
解：设，以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则设。
ⅰ)证明：由得， 所以，所以，
所以，所以平面；
ⅱ) 设平面的法向量为，又，由得，设平面的法向量为，又，由，得，由于二面角为，所以，解得。
所以，平面的法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以与平面所成角为。
点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题和相似，底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点的位置的选择是一般的三等分点，这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好。
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