第三章空间向量与立体几何。
3．1 空间向量及其运算。
3．1．1 空间向量的线性运算。
一、学习目标。
经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解平面向量和空间向量的本质和向量运算性质．
二、知识梳理。
一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)
1．化简( )
a． b． c． d．
2．已知向量，则下列等式中错误的是( )
a． b．
c． d．
3．在空间四边形abcd中，m，g分别是bc，cd的中点，则等于( )
a． b． c． d．
4．在正方体abcd－a1b1c1d1中，以其顶点为始点和终点的向量中与共线的有___个．(
a．0 b．1 c．2 d．3
二)填空题。
5．在空间四边形abcd中， _
6．设则＝__
7．棱长为1的正方体abcd－a1b1c1d1，以正方体ac1的顶点为始点和终点的向量中，模长等于的向量有___个，模长等于的向量有___个．
8．(1) ，其中运算结果等于的是___填序号)．
三)解答题。
10．如图，在平行六面体abcd－a1b1c1d1中，设，e、f分别是ad1，bd中点．
1)用向量表示；
2)化简：
11．已知，用向量表示向量。
12．如图所示，已知平行六面体abcd－a1b1c1d1，点e、f分别是上底面a1c1和侧面cd1的中心，求下列各题中x、y的值．
三、自我评价。
3．1．2 空间向量的基本定理(1)
一、学习目标。
了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的共线条件，空间向量的共面条件．
二、知识梳理。
一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)
1．下列命题中正确的是( )
a．若与共线，与共线，则与共线。
b．向量共面即它们所在的直线共面。
c．相反向量共线。
d．若，则存在唯一的实数λ，使。
2．下列各组向量不平行的是( )
a．＝(1，0，0)，＝3，0，0)
b．＝(0，1，0)，＝1，0，1)
c．＝(0，1，－1)，＝0，－1，1)
d．＝(1，0，0)，＝0，0，0)
3．如果共面也共面，则下列说法正确的是( )
a．若与不共线，则共面。
b．若与共线，则共面。
c．当且仅当时共面。
d．若与不共线，则不共面。
4．、是两个非零向量，m是一个平面，下列所给命题中，正确的是( )
a．、是共面向量，则//
b．∥成立的充要条件是、是共面向量。
c．设、所在的直线分别为l1，l2(l1，l2不重合)，若l1m，l2m， /则l1∥l2
d．设、所在的直线分别为l1，l2，若l1m，l2m，、共面，则l1与l2平行或异面。
二)填空题。
5．若与不平行，，则x＝__y＝__
6．非零向量不共线，若与共线，则k＝__
7．对于不共面的三个向量，若，则＝__y＝__z＝__
8．已知a、b、c三点不共线，对平面abc外任一点o，有，则a、b、c、m___共面、不共面)
9．空间四边形oabc中，，点m在oa上，且om＝2ma，n为bc的中点，则___用表示)．
三)解答题。
10．已知，若不共面，求实数x，y的值．
11．如图，已知长方体ac1中，m为dd1的中点，n在ac上，且an∶nc＝2∶1，e为bm的中点，求证：a1，e，n三点共线．
12．已知非零向量不共线，如果，求证：a、b、c、d共面．
三、自我评价。
3．1．2 空间向量的基本定理(2)
一、学习目标。
掌握空间向量分解定理，学会确定空间向量的一个基底，并能用空间向量的一个基底表示空间中的任意一个向量．
二、知识梳理。
一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)
1．空间四边形abcd中，则( )
a． b. c． d．
2．若是空间的一个基底，向量，那么可以与构成空间另一个基底的向量是( )
a． b．
c． d．
3．平行六面体oabc－o′a′b′c′中，设g为bc′的中点，用，，表示向量，则＝(
a． b．
c． d．
4．已知平行六面体abcd－a1b1c1d1，若则x＋y＋z＝(
a．1 b． c． d．
二)填空题。
5．已知空间四边形oabc，点m、n分别是oa、bc的中点，且，用表示向量___
6．如图，已知长方体abcd－a1b1c1d1中，点m为cc1的中点，，若则x＝__y＝__z＝__
7．在空间平移△abc到△a1b1c1，△abc与△a1b1c1不在同一平面内，连接对应顶点，设m是bc1的中点，n是b1c1的中点，用基底表示向量___
8．已知是空间的一个基底，从以下向量，
中选出三个向量，使它们构成空间的基底，请你写出这个空间中的三组基底___
9．已知o、a、b、c为空间不共面的四点，且向量。
向量中能与构成空间基向量的是___
三)解答题。
10．如图，在平行六面体abcd－a1b1c1d1中，
试用基底表示。
11．如图，在三棱柱abc－a1b1c1中，设，m是a1b的中点，点n在cm上，且cn∶cm＝1∶4，试用基底表示。
12．如图，空间四边形oabc中，g、h分别是△abc、△obc的重心，d为bc的中点，设，试用向量表示向量和。
三、自我评价。
3．1．3 空间向量的数量积。
一、学习目标。
掌握空间向量的夹角、空间向量相互垂直、异面直线、异面直线所成的角、数量积等概念，能运用空间向量的数量积判断空间向量的共线与垂直．
二、知识梳理。
一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)
1．若，且，则与的夹角为( )
a．30° b．60° c．120° d．150°
2．已知，则( )
a．22 b．48 c． d．32
3．在长方体abcd－a1b1c1d1中，ab＝1，ad＝2，aa1＝3．则。
a．1 b．3
c．0 d．－3
4．设a、b、c、d是空间不共面的四点，且满足，则△bcd是( )
a．钝角三角形 b．锐角三角形 c．直角三角形 d．不确定。
二)填空题。
5．已知，则与的夹角为___
6．已知空间四边形abcd，则___
7．已知直线a、b是异面直线，a，b∈a，c，d∈b，ac⊥b，bd⊥b，且ab＝2，cd＝1，则直线a与b所成的角是___
8．已知平行六面体abcd－a1b1c1d1中，以顶点a为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角是60°，则对角线ac1的长是___
9．下列命题中：(1)则＝0或＝0；(2) ；4)若与均不为，则它们必垂直．其中真命题的序号是___
三)解答题。
10．如图，在空间四边形oabc中，oa＝8，ab＝6，ac＝4，bc＝5，∠oac＝45°，∠oab＝60°，求oa与bc夹角的余弦值．
11．如图，已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于a，点e、f、g分别是ab、ad、dc的中点，求下列向量的数量积．
12．如图，已知平行六面体abcd－a1b1c1d1中，底面abcd是边长为a的正方形，侧棱aa1长为b，∠a1ab＝∠a1ad＝120°．
1)求ac1的长；(2)证明：ac1⊥bd；(3)求直线bd1与ac所成角的余弦值．
三、自我评价。
3．1．4 空间向量的直角坐标运算(1)
一、学习目标。
掌握空间向量的正交分解及其空间坐标表示，掌握空间向量的坐标运算，掌握共线的空间向量的坐标表示、垂直的空间向量的坐标运算．
二、知识梳理。
一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)
1．已知＝(1，2，－1)，＝1，2，－1)，则＝(
a．(2，－4，2) b．(－2，0，0)
c．(－2，0，－2) d．(－2，－4，2)
2．＝(1，－5，－2)，＝若，则x＝(
a．0 b．
c．－6 d．±6
3．设＝()若，则m，n的值分别为( )
a．，8 b．，8
c．，8 d．，－8
4．下列各组向量是共面向量的是( )
a． b．
c． d．
二)填空题。
5．设向量，若，则t＝__
6．已知p1(1，－2，3)，p2(2，1，－3)，p3(3，2，－1)，设，若k与垂直，则k＝__
7．已知为单位正交基，且，则向量与向量的坐标分别是___
8．已知a(4，1，3)、b(2，－5，1)，c为线段ab上一点，满足，则点c的坐标为___
9．如图，单位正方体abcd－a1b1c1d1，，则点e的坐标是___点e的位置在___
三)解答题。
10．(1)已知，求－;
2)已知a(1，－2，－3)，b(－1，－1，－1)求的坐标．
11．若＝(1，5，－1)，＝2，3，5)，(1)若(k＋)/3)求k；(2)若(k＋) 3)，求k．
12．如图，在棱长为1的正方体abcd－a1b1c1d1中，e、f分别是dd1、bd的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：ef⊥b1c．
三、自我评价。
3．1．4 空间向量的直角坐标运算(2)
一、学习目标。
掌握空间向量数量积的坐标运算法则，掌握空间向量的模、夹角等数量的计算．
二、知识梳理。
选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)
1．已知向量(0，2，1)， 1，1，－2)，则与的夹角为( )
a．0° b．45° c．90° d．180°
2．设a＝(3，3，1)、b＝(1，0，5)、c(0，1，0)，则ab的中点m到点c的距离＝(
a． b． c． d．
3．已知(2，－1，3)， 4，2，)，若与夹角是钝角，则x取值范围是( )
a．且x≠－6 b．(－2)
c． d．
4．已知＝(1，2，3)，＝2，1，2)，＝1，1，2)，点q在直线op上运动，则当取得最小值时，点q的坐标为( )
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