空间向量与立体几何

题型专题(十) 空间向量与立体几何。

考点一：利用空间向量证明空间位置关系。

典例] 如图所示，在底面是矩形的四棱锥pabcd中，pa⊥底面abcd，e，f分别是pc，pd的中点，pa＝ab＝1，bc＝2.

1)求证：ef∥平面pab；

2)求证：平面pad⊥平面pdc.

证明] 以a为原点，ab，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,1)，所以e，f，，＝0,0,1)，＝0,2,0)，＝1,0,0)，＝1,0,0)．

1)因为＝－，所以∥，即ef∥ab.

又ab平面pab，ef平面 pab，所以ef∥平面 pab.

2)因为·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以⊥，⊥即ap⊥dc，ad⊥dc.

又因为ap∩ad＝a，ap平面pad，ad平面pad，所以dc⊥平面pad.因为dc平面pdc，所以平面pad⊥平面pdc.

向量证明平行与垂直的四个步骤。

1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；

2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；

3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系；

4)根据运算结果解释相关问题．

即时应用]在直三棱柱abca1b1c1中，∠abc＝90°，bc＝2，cc1＝4，点e**段bb1上，且eb1＝1，d，f，g分别为cc1，c1b1，c1a1的中点．

求证：(1)b1d⊥平面abd；

2)平面egf∥平面abd.

证明：(1)以b为坐标原点，ba，bc，bb1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则b(0,0,0)，d(0,2,2)，b1(0,0,4)，c1(0,2,4)，设ba＝a，则a(a,0,0)，所以＝(a,0,0)，＝0,2,2)，(0,2，－2)，＝0，·＝0＋4－4＝0，即b1d⊥ba，b1d⊥bd.

又ba∩bd＝b，ba，bd平面abd，因此b1d⊥平面abd.

2)由(1)知，e(0,0,3)，g，f(0,1,4)，则＝，＝0,1,1)，＝0＋2－2＝0，＝0＋2－2＝0，即b1d⊥eg，b1d⊥ef.

又eg∩ef＝e，eg，ef平面egf，因此b1d⊥平面egf.

结合(1)可知平面egf∥平面abd.

考点二：利用空间向量求线线角、线面角。

典例] (2015·全国卷ⅰ)如图，四边形abcd为菱形，∠abc＝120°，e，f是平面abcd同一侧的两点，be⊥平面abcd，df⊥平面abcd，be＝2df，ae⊥ec.

1)证明：平面aec⊥平面afc；

2)求直线ae与直线cf所成角的余弦值．

解] (1)证明：如图，连接bd，设bd∩ac于点g，连接eg，fg，ef.在菱形abcd中，不妨设gb＝1.

由∠abc＝120°，可得ag＝gc＝.

由be⊥平面abcd，ab＝bc，可知ae＝ec.

又ae⊥ec，所以eg＝，且eg⊥ac.

在rt△ebg中，可得be＝，故df＝.

在rt△fdg中，可得fg＝.

在直角梯形bdfe中，由bd＝2，be＝，df＝，可得ef＝.

从而eg2＋fg2＝ef2，所以eg⊥fg.

又ac∩fg＝g，所以eg⊥平面afc.

因为eg平面aec，所以平面aec⊥平面afc.

2)如图，以g为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，||为单位长度，建立空间直角坐标系gxyz.

由(1)可得a(0，－，0)，e(1,0，)，f，c(0，，0)，所以＝(1，，)

故cos〈，〉

所以直线ae与直线cf所成角的余弦值为。

1．利用空间向量求空间角的一般步骤。

1)建立恰当的空间直角坐标系；

2)求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标；

3)结合公式进行论证、计算；

4)转化为几何结论．

2．求空间角应注意的问题。

1)两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝cos β|

2)直线与平面所成角和直线的方向向量和平面法向量的夹角并不一定互余．

即时应用](2015·江西八所中学联考)如图，四棱锥pabcd中，底面abcd是直角梯形，∠dab＝90°，ad∥bc，ad⊥侧面pab，△pab是等边三角形，da＝ab＝2，bc＝ad，e是线段ab的中点．

1)求证：pe⊥cd；

2)求pc与平面pde所成角的正弦值．

解：(1)证明：因为ad⊥侧面pab，pe平面pab，所以ad⊥pe.

又因为△pab是等边三角形，e是线段ab的中点，所以pe⊥ab.

因为ad∩ab＝a，所以pe⊥平面abcd.

而cd平面abcd，所以pe⊥cd.

2)以e为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系exyz.

则e(0,0,0)，c(1，－1,0)，d(2,1,0)，p(0,0，)．

设n＝(x，y，z)为平面pde的法向量．

由即。令x＝1，可得n＝(1，－2,0)．

设pc与平面pde所成的角为θ，则。

sin θ＝cos〈，n〉|＝

所以pc与平面pde所成角的正弦值为。

考点三：利用空间向量求二面角。

典例] (2015·重庆高考)如图，三棱锥pabc中，pc⊥平面abc，pc＝3，∠acb＝.d，e分别为线段ab，bc上的点，且cd＝de＝，ce＝2eb＝2.

1)证明：de⊥平面pcd；

2)求二面角apdc的余弦值．

解] (1)证明：由pc⊥平面abc，de平面abc，得pc⊥de.

由ce＝2，cd＝de＝，得△cde为等腰直角三角形，故cd⊥de.

由pc∩cd＝c，de垂直于平面pcd内两条相交直线，故de⊥平面pcd.

2)由(1)知，△cde为等腰直角三角形，∠dce＝.

如图，过d作df垂直ce于f，易知df＝fc＝fe＝1.

又已知eb＝1，故fb＝2.

由∠acb＝，得df∥ac，＝＝故ac＝df＝.

以c为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则c(0,0,0)，p(0,0,3)，a，e(0,2,0)，d(1,1,0)，＝1，－1，0)，＝1，－1,3)，＝

设平面pad的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1·＝0，n1·＝0，得故可取n1＝(2,1,1)．

由(1)可知de⊥平面pcd，故平面pcd的法向量n2可取为，即n2＝(1，－1,0)，从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为。

cos〈n1，n2〉＝＝故所求二面角apdc的余弦值为。

求平面的法向量的方法。

1)待定系数法：设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程求解．

2)先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量．

说明] 两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角．

即时应用]2015·贵阳监测考试)如图，已知四棱锥pabcd中，pa⊥平面abcd，ad∥bc，ad⊥cd，且ab⊥ac，ab＝ac＝pa＝2，e是bc的中点．

空间向量与立体几何

《空间向量与立体几何

空间向量与立体几何

空间向量与立体几何

其他用户还读了