第六章空间向量与立体几何。
6.1 空间向量及其加减运算。
一．知识点归纳。
1．基本概念。
零向量、单位向量、向量相等、相反向量。
2．空间向量的加法法则。
1）三角形法则 （2）平行四边形法则 （3）多边形法则。
4）加法运算律：交换律结合律。
3．空间向量的减法法则：
4．空间向量减法的几何意义：
5．基本思想：数形结合思想。
二．例题选讲。
1． 给出下列命题：
两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
若空间向量满足，则；
在正方体中，必有；
若空间向量满足，则；
空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确的个数是（ ）
a.1 b.2 c.3 d.4
2．如图，在正方体中，下列运算结果为的共有（ ）
a.1个 b.2个 c.3个 d.4个。
3．化简。4.已知点g是正方形abcd的中心，点p是正方形abcd所在平面外一点，则等于（ ）
a. b. c. d.
三．基础训练。
1．已知正方体的中心为o，则在下列各结论中正确的有（ ）个。
与是一对相反向量；
与是一对相反向量；
与是一对相反向量；
与是一对相反向量。
a.1个 b.2个 c.3个 d.4个。
2．在平行六面体中，与向量相等的向量共有（ ）个。
a.1b.2c.3 d.4
3．在正方体中，向量化简后的结果是（ ）
a. b. c. d.
4.在空间四边形abcd中，若e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da边上的中点，则下列各式中成立的是（ ）
a. b.
c. d.
5．在平行六面体中，以图中顶点为端点构造空间向量，其中等于的是（ ）
a. b. c. d.
6．已知空间四边形abcd，连接ac、bd，设m、g分别是bc、cd的中点，则等于（ ）
a. b. cd.
7．如图，在平行六面体中，m为ac与bd的交点，若，则下列向量与相等的向量是（ ）
ab. cd.
8.在正方体中，化简向量表达式的结果是。
6.2 空间向量的数乘运算。
一．知识点归纳。
1.实数与空间向量的积的定义：
1)对于：若，与的方向。
若，与的方向。
2）实数与空间向量的积的运算律：
结合律：＝ 第一分配律：＝ 第二分配律：＝
2．共线向量：
1）共线向量的定义： 。
2）共线向量定理：对于任意两个非零向量。
3）若直线是经过点a且平行于已知非零向量的直线，那么对于任一点o，点p在直线上的充要条件是其中叫直线的方向向量。
4）主要用于证明两条直线平行。
3．共面向量：
1）共面向量的定义： 。
2）共面向量定理：对于任意两个不共线向量，则向量与向量共面。
3）四点m、p、a、b共面的充要条件是。
4）主要用于证明直线与平面平行。
二．例题选讲。
1．如图所示，已知空间四边形中，向量，若为中点，为的重心，则用表示下列向量为。
2.如图，已知是平面四边形所在平面外一点，连结pa、pb、pc、pd，点e、f、g、h分别为、、、的重心，求证：
1）e、f、g、h四点共面；
2）平面平面。
3.如图，已知正方形和正方形相交于，点m、n分别在ae、bd上，且。求证平面。
三．基础练习。
1． 下列说法正确的是（ ）
a.以三个向量为棱一定可以作一个平行六面体；
b.设平行六面体的三条棱是，则这以平形六面体的对角线所对应的向量是。
c.若成立，则点p一定是线段ab的中点；
d.在空间，若向量和是共线向量，则a、b、c、d四点共面。
2．下列命题中正确的是（ ）
a.若与共线，与共线，则与共线；
b.向量共面，即是它们所在的直线共面；
c.零向量没有确定的方向；
d.若，则存在唯一的实数，使。
3．下列条件中，使m与a、b、c一定共面的是（ ）
ab. cd.
4.设m是的重心，记，且，则( )
a. b. c. d.
5．已知四边形abcd，连结ac、bd，设m、g分别是bc、cd的中点，则等于（ ）
a. bc. d.
四．提高训练。
6．已知o是空间任一点，a、b、c、d四点满足任三点均不共线，但四点共面，且，则。
7．已知点g是的重心，o是空间任一点，若，则。
8．在长方体中，若是矩形abcd的中心，则中的值为。
9．已知矩形abcd，p是平面abcd外一点，且平面，m、n分别为pc、pd上的点，且m分成定比2，n分成定比1，求满足的实数的值。
10．如图，在平行六面体中，o是的中点。
求证：平面。
3.3 空间向量的数量积运算。
一．知识点归纳。
1．两个空间向量的数量积的定义：
其中叫做向量在方向上的投影。
2．空间向量的夹角的取值范围是当＝0时。
当＝时当＝时。
3．空间向量的数量积的性质：
1） 。其中是与方向相同的单位向量，的夹角用表示）
2通常用于判断两条直线垂直。）
3），则通常用于求向量的模或者线段的长度。）
4）若的夹角为，则通常用于求向量的夹角。）
4．两个空间向量的数量积的运算律：
交换律结合律分配律。
二．例题选讲。
1．已知长方体中，为侧面的中心，为的中点，则。
2.已知空间四边形oabc中，,且，m、n分别是oa、bc的中点，g是mn的中点。求证：.
3．已知空间四边形oabc各边及对角线都相等，e、f分别是ab、oc的中点，求oe与bf所成的角的余弦值。
4．证明：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三．基础练习。
1．已知，则等于（ ）
a.22 b.48 c. d.32
2．在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
a. b. c. d.
3．已知是夹角为的两个单位向量，则向量与的夹角为 。
4．在四棱柱中，, 则。
5.在正方体中，各棱长均为。
1）求和的夹角； （2）求证：.
四．提高训练。
6．设，且，则＝ 。
7．已知正四面体oabc的棱长为1，则。
8.空间四边形oabc中，，求证：.
9．如图，正方体中，p是的中点，o是底面abcd的中心，求证：平面。
10.如图，是平面内的两条相交直线。如果，求证：。
６.4 空间向量的正交分解及其坐标表示。
一．知识点归纳。
1．空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对任一向量，存在有序实数组使得。
2．空间向量的坐标表示；
1）单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量 ，且长都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，常用表示。
2）空间向量的坐标：
给定一个空间直角坐标系和向量，且设为坐标向量，存在唯一有序数组使，有序数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，记为。
对于空间直角坐标系中的一点，对应一个向量，则。在单位正交基底中与向量对应的有序数组，叫做点a在此空间直角坐标系中的坐标，记为。
二．例题选讲。
1．如图，m、n分别是四面体oabc的边oa,bc的中点，p,q是mn的三等分点。设，若以作为基底，则。
2.在直三棱柱中，d为的中点，则在如图所示的空间。
直角坐标系中，点d的坐标是 ，的坐标为 ,的坐标为 。
三．基础练习：
1．已知是空间向量的一个基底，则可以与向量构成基底的向量是（ d ）
a. b. c. d.
2．已知空间四边形oabc中，点m、n分别是oa、bc的中点，且，用表示向量。
3.如图，已知空间四边形oabc，对角线为ob、ac，m是边oa的中点，g是的重心，用基向量表示向量为。
4.已知点a的坐标为，且向量与向量关于坐标平面对称，向量与向量关于轴对称，则。
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