第三章空间向量与立体几何。
3.1空间向量及其运算。
第一课时。空间向量及其加减与数乘运算。
学习目标：1．了解空间向量的含义及有关概念；
2．理解空间向量的加减、数乘运算及其运算律；
3．了解共线向量、共面向量概念，会证明点共线、点共面。
重点：空间向量的加减、数乘运算的定义，会进行运算。难点：能用向量方法解决几何问题。
一、课前准备区（自主生疑）——我该学什么？
1、空间向量向量的大小叫向量的。
2、零向量记为 ，单位向量。
3、 相等向量相反向量。
4、如图：对空间任意一点， ，若 、、三点共线，则若是线段的中点，则。
5、 在长方体中，为与的交点，若，，，则用、、表示为。
二、课中学习区（互动解疑）——我该如何学习？
一）互动解疑（拓展训练）
例1： 如图所示，在空间四边形，连结分别是、、的中点，化简(1)，
2) ，并标出化简结果的向量。
例2： 用向量方法证明平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．
二）知识归纳（方法提炼）
1．会用几何法进行向量加减及数乘运算；
2．会用已知向量表示未知向量，能用向量法证明几何问题。
三、课后检测区（内化迁疑）——我学会了吗？
一）必做题。
1．在平行六面体中，为与的交点，若，，。则下列向量中与相等的向量是（ ）
a． b．c． d．
2．已知空间四边形中，，点在上，且，为中点，则=（
ab． cd．
3．非零向量不共线，若与共线，则。
4．已知，，且不共面，若，则。
二）选做题。
5．在空间四边形中，连结、，的重心为，化简。
三）拓展题。
6．如图，已知长方体中，为的中点，在上，且，为的中点，求证：三点共线．
第二课时。空间向量的数量积运算。
学习目标：1．了解空间向量的夹角及向量垂直概念；
2．理解向量的数量积的定义、数量积的几何意义及其运算律；
3．理解向量的数量积的性质，并能进行简单运用。
重点：向量的数量积的定义，数量积的性质及求数量积。难点：数量积的运用。
一、课前准备区（自主生疑）——我该学什么？
1、向量、的夹角： 作，则叫做向量、的夹角，向量、的夹角的取值范围为。
2、非零向量、的数量积规定已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，点在上的射影为，点在上的射影为，则叫做向量在轴上或在方向上的正射影，简称射影，并且。
3、 数量积的性质：（123
4、若，且，则与的夹角为( )
a．30° b．60° c．120° d．150°
5、在长方体abcd－a1b1c1d1中，ab＝1，ad＝2，aa1＝3．则( )
a．1 b．3 c．0 d．－3
二、课中学习区（互动解疑）——我该如何学习？
一）互动解疑（拓展训练）
例1：已知正四面体的棱长为。求：
例2：如图，已知是正方体的棱的中点，求向量与所成角的余弦值．
二）知识归纳（方法提炼）
1．能熟练进行向量的数量积运算，会用向量的数量积求向量的夹角、长度，证明向量垂直；
2．会用向量的数量积这一工具解决几何问题。
三、课后检测区（内化迁疑）——我学会了吗？
一）必做题。
1．已知，，，则等于（ ）
abcd．2．设、、、是空间不共面的四点，且满足，则是( )
a．钝角三角形 b．锐角三角形 c．直角三角形 d．不确定。
3．已知平行六面体中，已知，，，则等于（ ）
abcd．4．已知线段的长度为，与直线的正方向的夹角为，则在上的射影的长度为。
二）选做题。
5．已知、是异面直线，、，且，，则异面直线与所成的角为。
三）拓展题。
6．设，，现把按非零向量平移到，在上取点，在上取点，使，如果与，与，与的夹角都是，且，1）试用、、表示向量、、；
2）试求；（3）求。
第三课时 空间向量的正交分解、坐标表示及其向量的坐标运算。
学习目标：1．理解空间向量的基本定理及正交分解概念；
2．能用基底法表示向量及解决空间向量的有关问题；
3．理解向量的坐标表示及其坐标运算。
重点：空间向量的基本定理，向量的坐标表示及其坐标运算。难点：用基底法或坐标法解决几何问题。
一、课前准备区（自主生疑）——我该学什么？
1、 如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是
这个集合可看作是由向量，，生成的。我们把叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量。空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底。
2、对于空间任意一个向量一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量，由空间向量基本定理可知，存在唯一的有序实数组使得，我们把称作向量在单位正交基底下的坐标，记作。
3、长方体中，若，则( )
a． b. c． d．
4、若与平行，则实数。
5、已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为。
二、课中学习区（互动解疑）——我该如何学习？
一）互动解疑（拓展训练）
例1：（1）已知向量在基底下的坐标是，求在基底的坐标．
2）如图，四棱锥的底面为一矩形，设，、分别是和的中点，试用表示。
例2： 如图，点在矩形所在平面外，平面于，平面于，平面于，，且四边形是平行四边形。
1)建立适当坐标系，求点、的坐标；
2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值。
二）知识归纳（方法提炼）
1．准确理解空间向量的基本定理，会用基底表示空间向量，准确进行空间向量的坐标运算；
2．会用基底法或坐标法解决几何问题。
三、课后检测区（内化迁疑）——我学会了吗？
一）必做题。
1．已知是不共面向量，若，，又，则的值为（ ）
abcd．2．已知向量是空间的一组基底，，则一定可以与向量构成空间的另一组基底的是( )
abcd．无法确定。
3．设是四面体，是的重心，是上的一点，且，若，则为( )
a. b.
cd. 4．已知空间三点，，，在直线上有一点满足，则点的坐标是（ ）
a. b. c. d.
二）选做题。
5．已知空间三点，，。
1） 求以、为边的平行四边形面积；
2） 若且分别与、垂直，求向量的坐标。
三）拓展题。
6．如图：平行六面体中，、分别在、上，且，1）证明：、、四点共面；
2）若，求的值。
3.2 立体几何中的向量方法。
第一课时。立体几何中的向量方法（1）
学习目标：1．理解直线的方向向量和平面的法向量概念，会用方程方法求平面的法向量；
2．能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理；
3．能用向量方法证明空间中线面平行与垂直关系。
重点：直线的方向向量和平面的法向量，用向量方法证明空间中线面平行与垂直关系。
难点：求平面的法向量，用向量方法证明空间中线面平行与垂直关系。
一、课前准备区（自主生疑）——我该学什么？
1、如果表示非零向量的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量垂直于平面，记作。此时，我们把向量叫做一个平面的法向量有个。
2、（1）平面的法向量是，平面的法向量是，若，则，的关系是 ；
2）平面的法向量是，平面的法向量是，若，则与的位置关系是 。
3、若直线的方向向量为，平面的法向量为，则( )
abcd．与斜交。
4、已知平面经过三点，写出平面的一个法向量为 。
5、已知平面内有一个点，平面的一个法向量是，则下列点中在平面α内的是( )
ab． c． d．
二、课中学习区（互动解疑）——我该如何学习？
一）互动解疑（拓展训练）
例1： 已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，1）求证：是平面的法向量；
2）求四棱锥的体积．
例2：（1）在直三棱柱中，, 是得中点。求证：。
2）棱长为的正方体中，在棱上是否存在点使平面？
二）知识归纳（方法提炼）
1．会求平面的法向量；
2．熟练用向量方法证明空间中线面平行与垂直。
三、课后检测区（内化迁疑）——我学会了吗？
一）必做题。
1．在正方体中，若为中点，则直线垂直于( )
ab． cd．
2．已知平面内三点，直线的方向向量为，则有（ ）
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