一 、解答题（本大题共5小题）
如图在三棱锥中为的中点⊥平面垂足落**段上．
ⅰ）证明⊥；
ⅱ）已知．求二面角的大小．
如图四棱锥p—abcd中底面abcd为平行四边形∠dab=60°,ab=2ad,pd⊥底面abcd.
(ⅰ)证明pa⊥bd；
(ⅱ)若pd=ad求二面角a-pb-c的余弦值。
如图在中是上的高沿把折起使。
ⅰ）证明平面ａｄｂ平面ｂｄｃ
ⅱ）设ｅ为ｂｃ的中点求与夹角的余弦值。
已知三棱锥p－abc中pa⊥abcab⊥acpa=ac=abn为ab上一点ab=4an,m,s分别为pb,bc的中点。
ⅰ）证明cm⊥sn；
ⅱ）求sn与平面cmn所成角的大小。
如图已知长方体ab=2 =1直线bd与平面所成的角为ae垂直bd于ef为的中点。
ⅰ）求异面直线ae与bf所成的角；
ⅱ）求平面bdf与平面所成二面角（锐角）的大小；
ⅲ）求点a到平面bdf的距离。
空间向量与立体几何（3）答案解析。
一 、解答题。
本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系二面角等基础知识同时考查空间想象能力和推理论证能力满分14分。
（ⅰ）证明由ab=acd是bc中点得。
又平面abc得。
因为所以平面pad故。
（ⅱ）解如图在平面pab内作于m连cm
因为平面bmc所以apcm
故为二面角b—ap—c的平面角。在。在。
在中。所以。在 又。
故。同理。
因为。所以。
即二面角b—ap—c的大小为。
解。ⅰ）因为由余弦定理得
从而bd2+ad2= ab2故bdad
又pd底面abcd可得bdpd
所以bd平面pad. 故 pabd
ⅱ）如图以d为坐标原点ad的长为单位长射线da为轴的正半轴建立空间直角坐标系d-则。
设平面pab的法向量为n=（xyz）则。
即。因此可取n=
设平面pbc的法向量为m则。
可取m=（0-1
故二面角a-pb-c的余弦值为
解（ⅰ）折起前ａｄ是ｂｃ边上的高。
当δａｂ折起后ad⊥ｄｃad⊥ｄｂ
又dbｄｃ＝
ａｄ⊥平面ｂｄｃ
ad 平面平面bdc．
平面abd平面bdc
ⅱ）由∠ｂｄ及（ⅰ）知daｄｂdc两两垂直不防设=1以d为坐标原点以所在直线轴建立如图所示的空间直角坐标系易得d（0,0,0）b（1,0,0）c（0,3,0）a（0,0）e（0）
与夹角的余弦值为。
证明。设pa=1以a为原点射线abacap分别为xyz轴正向建立空间直角坐标系如图。
则p（0,0,1）c（0,1,0）b（2,0,0）m（1,0,）n（,0,0）s（1, ,0）.…4分。
ⅰ）,因为。
所以cm⊥sn6分。
ⅱ）,设a=（xyz）为平面cmn的一个法向量。
则9分。因为。
所以sn与片面cmn所成角为4512分。
详解】解法一在长方体中，以ab所在直线为轴，ad所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图。
由已知可得。
又平面从而bd与平面所成的角即为。
又。从而易得。
i）即异面直线ae、bf所成的角为。
ii）易知平面的一个法向量。
设是平面bdf的一个法向量，由。
取。即平面与平面所成二面角（锐角）大小为。
iii）点a到平面bdf的距离，即在平面bdf的法向量上的投影的绝对值，所以距离。
所以点a到平面bdf的距离为。
解法二（i）连结，过作的垂线，垂足为k,与两底面都垂直，平面。
又平面。因此∥
为异面直线与所成的角。
连结由面得。
从而为。在和中，由得。
又。异面直线bf与ae所成的角为。
ii）由于面，由a作bf的垂线ag,垂足为g,连结dg,由三垂线定理知。
即为平面bdf与平面所成二面角的平面角，且在平面中，延长与交于。
点s,为的中点，∥
即。为等腰直角三角形，垂足g点为斜边sb的中点f,即f、g重合。
易得在中，
即平面与平面所成二面角（锐角）的大小为。
iii）由（ii）知平面是平面与平面所。
成二面确的平面角所在的平面。
面面。在，由a作于h,则即为点。
a到平面的距离。
由得。所以点ａ到平面的距离为。
备考建议】本题主要考查了异面直线所成角、两个平面的平面角、及点到平面距离的求法。点到直线的距。
离经常利用等积法求。
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