沙场点兵】
1．利用向量解决平行问题。
2、利用向量解决垂直问题。
3、利用向量解角度问题。
4、利用向量解决距离问题。
基础巩固导练。
1、在平行六面体abcd—中，设，则x+y+z=（a ）
abcd.
2、在正方体abcd—中，m是棱dd1的中点，点o为底面abcd的中心，p为棱a1b1上任意一点，则异面直线op与am所成角的大小为（ c ）
abcd. 与p点位置无关。
3、如图，正方体abcd—中，e、f分别是ab、cc1的中点，则异面直线a1c与ef所成角的余弦值为（ b ）
a. bcd.
4、 如图所示，直二面角d—ab—e中，四边形abcd是边长为2的正方形，ae=eb，f为ce上的点，且bf⊥平面ace。
1）求证：ae⊥平面bce；（2）求二面角b－ac－e的大小；
3）求点d到平面ace的距离。
考点1：利用方向向量计算异面直线所成角：
例1：如图1所示，在空间直角坐标系中，空间四面体的四个顶点分别为o（0，0，0），a（4，0，0），b（3，2，0），p（1，4，1），r，s是pa的三等分点，m .n分别是pb.
ob的中点，直线nr和ms所成角的余弦值。
解答：ｍ、分别是pb、ob的中点，m点的坐标为，ｎ点的坐标为。
设r的坐标为(x1,y1,z1)
r的坐标为的坐标为。
所以直线nr和ms的所成角的余弦值为。
考点2：利用方向向量和法向量计算线面所成角：
例2：如图2，边长为2的菱形abcd中，，又pa⊥面abcd，pa=2，e为cp中点，求pb与面bde所成的角大小。
分析：利用直线的方向向量和平面的法向量，借助公式进行计算。
解答：如图2，过点a作ob的平行线，设为x轴，建立直角坐标系：
则。平面bde的一个法向量为。
设pb与平面bde所成角为，与所成角为，则，即pb与平面bde所成角为。
考点3：利用法向量计算二面角：
例3：如图3，在三棱锥中，，，求二面角的大小。
分析：分别求出两个平面的法向量，借助公式即可。
解答：由，，得与全等，由，得，。如图12，建立空间直角坐标系。由，，得=
设平面abp的一个法向量。
则，取，则。
同理可得平面acp的一个法向量。
设与所成角为，则，
所以二面角的大小为。
评注：利用平面的法向量所成的角的大小，可以计算二面角的大小，要注意二面角取法向量所成角还是其补角。
考点4：利用法向量计算点到平面的距离：
例4：如图4，ab⊥平面bcd，bc⊥cd，ad与平面bcd所成的角为30°，且ab=bc=2，求点b到平面acd的距离。
分析：利用平面的法向量，求点到平面的距离。
解答：如图13，过点b作cd的平行线，设为y轴，建立空间直角坐标系。
ab⊥平面bcd，ad与平面bcd所成的角为，由bc=2，则cd=，则平面acd的一个法向量为，则b到平面acd的距离为。
一、填空题：
1、已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为=(2,-6,8)，平面的一个法向量为，则x+y
2、已知直线l与平面平行，直线l的一个方向向量为=(2,-6,8)，平面的一个法向量为，则y
3、平面经过z轴，且垂直于法向量为=(1,-2,3)的另一平面，则平面的一个法向量是。
4、已知空间四点a(2,-4,6)、b(2,6,4)、c(-10,0,8)，d(4,0,8)，平面平行于直线ab，且c、d在平面上，则平面的一个法向量是。
5、长方体abcd-a’b’c’d’中，已知ab=2，bc=4，aa’=3，则直线bd’与ac所成角的大小是。
6、正方体abcd-a’b’c’d’中，若e为bc的中点，则平面b’d’e与平面abcd所成的锐二面角的大小是。
7、正方体abcd-a’b’c’d’中，e为底面正方形abcd的中心，**段cc’上存在一点m，使ae平面bmd，则m在cc’上的位置是。
8、如图5所示，在矩形abcd中，已知ab=1，bc=a，pa平面abcd，且pa=1，若bc边上有且仅有一点q，使pqqd，则a
二、选择题：
1、已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则是//的（ ）条件。
a)充分非必要 (b)必要非充分 (c)充要 (d)既非充分又非必要。
2、如图6，正方体中，若m、n分别为和的中点，则异面直线cm与所成角的余弦值为（ ）
a) (b) (c) (d)
3、如图7，在长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=bc=2,aa1=1,则bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为（ ）
a) (b) (c) (d)：
4、如图8，已知点p在正方体abcd－a1b1c1d1的对角线bd1上，∠pda=60°。
1）求dp与cc1所成角的大小；（2）求dp与平面aa1d1d所成角的大小。
2、如图9，四棱锥p-abcd的底面abcd是边长为1的菱形，∠bcd＝60°，e是cd的中点，pa⊥底面abcd，pa＝2。
（1）证明：平面pbe⊥平面pab；
2）求平面pad和平面pbe所成二面角（锐角）的大小。
3、如图10，在四棱锥p-abcd中，则面pad⊥底面abcd，侧棱pa=pd＝，底面abcd为直角梯形，其中bc∥ad，ab⊥ad，ad=2ab=2bc=2，o为ad中点。
1）求证：po⊥平面abcd；
2）求异面直线pd与cd所成角的大小；
3）线段ad上是否存在点q，使得它到平面pcd的距离。
专题空间向量与立体几何
第14讲空间向量与立体几何 1 已知向量是空间的一基底，向量是空间的另一基底，一向量p在基底下的坐标为 4,2,3 则向量p在基底下的坐标是 a 4,0,3b 3,1,3 c 1,2,3d 2,1,3 2 对于空间任意一点o和不共线的三点a，b，c，有 x y z x，y，z r 则x 2，y 3，...
空间向量与立体几何高考专题
1 如下图，四边形为正方形，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且 1 证明 平面平面 2 求与平面所成角的正弦值 2 如上右图，在三棱柱中，平面，分别为，的中点，1 求证 平面 2 求二面角的余弦值 3 证明 直线与平面相交 3 如下图，在三棱锥中，为的中点 1 证明 平面 2 若点...
数学专题 空间向量与立体几何
高二数学复习专题 空间向量与立体几何人教实验知识点拨 1 为非零向量时 是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线 线面 面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则 有关运算律联系来解决垂直的论证问题 2 公式是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角 但要注意两异面直...