[考试标准]
一、空间向量及其有关概念。
二、空间向量的加法、减法运算。
三、空间向量的数乘运算。
四、数量积及坐标运算。
1．两个向量的数量积。
1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；
2)a⊥ba·b＝0(a，b为非零向量)；
3)|a|2＝a2，|a|＝(a＝(x，y，z))．
2．向量的坐标运算。
若为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )
a． b．c． d．
点拨】 空间的基底是“形”转化为“数”的基础，是空间图形建立代数结构的平台，也是建立空间直角坐标系的必需．
解析】 若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(m)a＋(λm)b，则a、b、c为共面向量，此与为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．
答案】 c在如图所示的空间直角坐标系oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号①②③的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )
a．①和② b．③和①
c．④和③ d．④和②
解析】 在空间直角坐标系oxyz中作出棱长为2的正方体，在该正方体中作出四面体，如图所示，由图可知，该四面体的正视图为④，俯视图为②.
答案】 d正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点m在上且＝，n为b1b的中点，则||为( )
a. b．c. d．
点拨】 利用空间向量计算模长，熟练两点间的距离公式．由题意，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算解决．
解析】 以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，由正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点m在上且＝，n为b1b的中点，则a(1,0,0)，c1(0,1,1)，n.设m(x，y，z)，因为点m在上且＝，所以(x－1，y，z)＝(x,1－y,1－z)，所以x＝，y＝，z＝.于是m，所以||＝
答案】 d如图所示，已知正方体abcda1b1c1d1，e，f分别是正方形a1b1c1d1和add1a1的中心，则ef和cd所成的角是( )
a．60° b．45°
c．30° d．90°
点拨】 利用向量坐标求异面直线所成角要注意向量所成的角与异面直线所成角的区别与联系，特别是范围的差异．
解析】 以d为原点，分别以射线da，dc，dd1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系dxyz，设正方体的棱长为1，则d(0,0,0)，c(0,1,0)，e，f，，＝0,1,0)，所以cos〈，〉所以〈，〉135°，所以异面直线ef和cd所成的角是45°.
答案】 b如图，长方体abcda1b1c1d1中，aa1＝1，底面abcd的周长为4.
1)当长方体abcda1b1c1d1的体积最大时，求直线ba1与平面a1cd所成的角；
2)线段a1c上是否存在一点p，使得a1c⊥平面bpd，若有，求出p点的位置，若没有请说明理由．
点拨】 对于是否存在型的问题，可以凸显坐标方法的优势，利用空间向量坐标建立方程，然后按部就班求解．
解】 (1) 根据题意，令ab＝t, 则长方体的体积为。
v＝t(2－t)×1＝t(2－t)≤2＝1，当且仅当t＝2－t，即t＝1时体积v有最大值为1.
所以当长方体abcda1b1c1d1的体积最大时，底面四边形abcd为正方形．又aa1＝1，所以abcda1b1c1d1为正方体．
如图，连接b1c，取b1c的中点o，连接bo，a1o.
由题知，cd⊥平面c1b1bc，所以bo⊥cd，而等腰rt△b1bc中，bo⊥b1c，所以bo⊥平面a1b1cd，即∠ba1o即为直线ba1与平面a1cd所成的角．
又bo＝，ba1＝，所以∠ba1o＝30°.
即长方体abcda1b1c1d1的体积最大时，直线ba1与平面a1cd所成的角为30°.
2)根据题意可知，aa1，ab，ad两两垂直，以ab为x轴，ad为y轴，aa1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
根据题意有b(t,0,0)，c(t,2－t,0)，d(0,2－t,0)，若线段a1c上存在一点p满足要求，不妨设＝λ，可得p(λt，λ(2－t)，1－λ)
(λt－t，λ(2－t)，1－λ)t,2－t,0)，即。
解得t＝1，λ＝
即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点p，位置是线段a1c上a1p∶pc＝2∶1处．
如图，在四棱锥pabcd中，四边形abcd是矩形，三角形pad为等边三角形，平面apd⊥平面abcd，ab＝4，ad＝2，e、f分别为ad和pc的中点．
1)求证：ef∥平面pab；
2)求平面pab与平面pbc所成的二面角的余弦值．
点拨】 求两个平面所成角，转化为求两个平面法向量所成角(或者其补角)，要根据具体问题判断平面所成角是锐角或者钝角．
解】 (1)证明：取bc的中点g，连接eg，fg.
因为e，f分别是ad，pc的中点，所以eg∥ab，fg∥pb.
又ab∩pb＝b，eg∩fg＝g，所以平面efg∥平面pab.
因为ef平面efg，所以ef∥平面pab.
2)因为e为ad的中点，且三角形pad为等边三角形，平面apd⊥平面abcd，所以pe⊥ad，所以pe⊥平面abcd.
因为四边形abcd为矩形，所以eg⊥ad.
如图，连接ep，以e为坐标原点，ad、eg、pe所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系exyz，因为四边形abcd是矩形，所以eg平行于ab，因为ab＝4，ad＝2，所以a(1,0,0)，b(1,4,0)，c(－1,4,0)，p(0,0，)，所以＝(0,4,0)，＝1，－4，)，2,0,0)．
设平面pab和平面pbc的一个法向量分别为m＝(a，b,1)，n＝(c，d,1)，则m＝(，0,1)．
n＝.所以cos〈m，n〉＝＝
结合图形知，平面pab和平面pbc所成的二面角的平面角为钝角，所以平面pab与平面pbc所成的二面角的余弦值为－.
如图，三棱柱abca1b1c1中，侧面bb1c1c为菱形，ab⊥b1c.
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