1．证明：如图建立空间直角坐标系，则＝（－1，1，0），＝1，0，－1）
设且均不为0）
设、分别是平面a1ef与平面b1mc的法向量，由可得即
解得：＝（1，1，－1）
由可得即 解得＝（－1，1，－1），所以＝－，所以平面a1ef∥平面b1mc．
注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用⊥来证明．
2.．（1）证明：∵pa⊥平面abcd，∴pa⊥ab，又ab⊥ad．∴ab⊥平面pad．又∵ae⊥pd，∴pd⊥平面abe，故be⊥pd．
2）解：以a为原点，ab、ad、ap所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点c、d的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）．
pa⊥平面abcd，∠pda是pd与底面abcd所成的角，∴∠pda=30°．
于是，在rt△aed中，由ad=2a，得ae=a．过e作ef⊥ad，垂足为f，在rt△afe中，由ae=a，∠eaf=60°，得af=，ef=a，∴e（0， a）
于是， =设与的夹角为θ，则由。
cosθ=ae与cd所成角的余弦值为．
评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段．
3．解：1）如图，建立空间直角坐标系d—xyz,则知b（1，1，0），设。得则。令．
设点a1在平面bdfe上的射影为h，连结a1d，知a1d是平面bdfe的斜线段．
即点a1到平面bdfe的距离为1．
2）由（1）知，a1h=1，又a1d=，则△a1hd为等腰直角三角形，19．解：建立坐标系如图，则、，，
ⅰ）不难证明为平面bc1d的法向量， d1e与平面bc1d所成的角的余弦值为。
ⅱ）、分别为平面bc1d、bc1c的法向量，，∴二面角d－bc1－c的余弦值为．
ⅲ）∵b1d1∥平面bc1d，∴ b1d1与bc1之间的距离为．
《空间向量与立体几何
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