§3.1.1空间向量及其运算。
班级： 姓名学号：
学习目标 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
学习过程 一、课前准备。
预习教材p84~ p86，找出疑惑之处）
复习1：平面向量基本概念：
具有和的量叫向量， 叫向量的模（或长度叫零向量，记着叫单位向量叫相反向量，的相反向量记着叫相等向量。 向量的表示方法有和共三种方法。
复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：
1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则。
2. 实数与向量的积：
实数λ与向量a的积是一个量，记作 ，其长度和方向规定如下：
(1)|λa
(2)当λ＞0时，λa与a. ；
当λ＜0时，λa与a. ；
当λ＝0时，λa＝ .
3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
二、新课导学。
**任务一：空间向量的相关概念。
问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？
新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求。
2. 点c**段ab上，且，则。
反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？
加法交换律：a + b = b + a；
加法结合律：(a + b) +c. =a+ (b + c)；
数乘分配律：λ(a + b) =a +λb．
典型例题。
例1 已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
变式：在上图中，用表示和。
小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾。
向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
例2 化简下列各式：
小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化。
三、总结提升。
学习小结。
1. 空间向量基本概念；
2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。
学习评价 当堂检测。
1. 下列说法中正确的是（ ）
a. 若∣∣=则，的长度相同，方向相反或相同；
b. 若与是相反向量，则∣∣=
c. 空间向量的减法满足结合律；
d. 在四边形abcd中，一定有。
2. 长方体中，化简=
3. 已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）
a. b.或。
cd. ∣4. 在四边形abcd中，若，则四边形是（ ）
a. 矩形 b. 菱形 c. 正方形 d. 平行四边形。
5. 下列说法正确的是（ ）
a. 零向量没有方向
b. 空间向量不可以平行移动。
c. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等。
d. 同向且等长的有向线段表示同一向量。
3.1.2 空间向量的数乘运算（一）
班级： 姓名学号：
学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
学习过程 一、课前准备。
预习教材p86~ p88，找出疑惑之处）
复习1：化简：
复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？
在平面上有两个向量， 若是非零向量，则与平行的充要条件是。
二、新课导学。
**任务一：空间向量的共线。
问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？
新知：空间向量的共线：
1. 如果表示空间向量的所在的直线互相或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量。
2. 空间向量共线：
定理：对空间任意两个向量（），的充要条件是存在唯一实数，使得。
推论：如图，l为经过已知点a且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点o，点p在直线l上的充要条件是。
试试：已知 ，求证： a,b,c三点共线。
反思：充分理解两个向量共线向量的充要条件中的，注意零向量与任何向量共线。
典型例题。
例1 已知直线ab，点o是直线ab外一点，若，且x+y＝1，试判断a,b,p三点是否共线？
变式：已知a,b,p三点共线，点o是直线ab外一点，若，那么t＝
例2 已知平行六面体，点m是棱aa的中点，点g在对角线ac上，且cg:ga=2:1,设=，，试用向量表示向量。
变式：已知长方体，m是对角线ac中点，化简下列表达式：
小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向。
三、总结提升。
学习小结。
1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；
2. 空间两个向量共线的充要条件及推论。
学习评价 当堂检测。
1. 下列说法正确的是（ ）
a.与非零向量共线，与共线，则与共线。
b. 任意两个相等向量不一定共线。
c. 任意两个共线向量相等。
d. 若向量与共线，则。
2. 正方体中，点e是上底面的中心，若，则x＝ ，y＝ ，z＝ .
3. 若点p是线段ab的中点，点o在直线ab外，则 +
4. 平行六面体， o为ac与bd的交点，则
5. 已知平行六面体，m是ac与bd交点，若，则与相等的向量是（ ）
a.；b. ；c.； d. .
6. 已知，，若，求实数
3.1.2 空间向量的数乘运算（二）
班级： 姓名学号：
学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
学习过程 一、课前准备。
预习教材p86~ p88，找出疑惑之处）
复习1：什么叫空间向量共线？空间两个向量，若是非零向量，则与平行的充要条件是。
复习2：已知直线ab，点o是直线ab外一点，若，试判断a,b,p三点是否共线？
二、新课导学。
学***。
**任务一：空间向量的共面。
问题：空间任意两个向量不共线的两个向量有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？
新知：共面向量同一平面的向量。
2. 空间向量共面：
定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在使得。
推论：空间一点p与不在同一直线上的三点a,b,c共面的充要条件是：
存在使。 对空间任意一点o，有。
试试：若空间任意一点o和不共线的三点a,b,c满足关系式，则点p与 a,b,c共面吗？
反思：若空间任意一点o和不共线的三点a,b,c满足关系式，且点p与 a,b,c共面，则 .
典型例题。
例1 下列等式中，使m,a,b,c四点共面的个数是（ ）
a. 1 b. 2 c. 3 d.
变式：已知a,b,c三点不共线，o为平面abc外一点，若向量。
则p,a,b,c四点共面的条件是
例2 如图，已知平行四边形abcd,过平面ac外一点o作射线oa,ob,oc,od,在四条射线上分别取点e,,f,g,h,并且使。
求证：e,f,g,h四点共面。
变式：已知空间四边形abcd的四个顶点a,b,c,d不共面，e,f,g,h分别是ab,bc,cd,ad的中点，求证：e,f,g,h四点共面。
小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向。
三、总结提升。
学习小结。
1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；
2. 空间两个向量共线的充要条件及推论。
学习评价 当堂检测。
1. 在平行六面体abcd－a1b1c1d1中，向量、、是（ ）
a. 有相同起点的向量 b．等长向量 c．共面向量 d．不共面向量。
2. 正方体中，点e是上底面的中心，若，则x＝ ，y＝ ，z＝ .
3. 若点p是线段ab的中点，点o在直线ab外，则 +
4. 平行六面体， o为ac与bd的交点，则 .
5. 在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为 （
空间向量与立体几何导学 2
3.1 空间向量及其运算 练习 班级 姓名学号 学习目标 1.熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示 2.熟练掌握空间线段的长度公式 夹角公式 两点间距离公式 中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题。学习过程 一 课前准备 阅读课本p115 复习 1.具有和...
空间向量与立体几何导学案
5 理解平面的法向量，能用向量语言表述线线 线面 面面的垂直 平行关系 6 能用向量方法证明有关线 面位置关系，能够用向量方法解决线线 线面 面面的夹角及其长度问题 7 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，在运用空间向量解决有关直线 平面位置关系的问题中，体会向量方法在研究几何图形的作用，进一步...
《空间向量与立体几何
高二 2 部数学 空间向量与立体几何 单元测试卷二。班级 姓名 一 选择题 每小题5分，共60分 1.如图，在平行六面体abcd a1b1c1d1中，m为ac与bd的交点。若 a，b，c，则下列向量中与相等的向量是。a.a b cb.a b c c.a b cd.a b c 2.下列等式中，使点m与...