§3.1 空间向量及其运算（练习）
班级： 姓名学号：
学习目标 1. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；
2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题。
学习过程 一、课前准备：（阅读课本p115）
复习：1. 具有和的量叫向量， 叫向量的模叫零向量，记着具有叫单位向量。
2. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则。
3.实数λ与向量a的积是一个量，记作 ，其长度和方向规定如下：(1)|λa
2)当λ＞0时，λa与a. ；当λ＜0时，λa与a. ；当λ＝0时，λa＝ .
4. 向量加法和数乘向量运算律：
交换律：a＋b＝ 结合律：(a＋b)＋c＝ 数乘分配律：λ(a＋b
5.① 表示空间向量的所在的直线互相或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量。
空间向量共线定理：对空间任意两个向量（），的充要条件是存在唯一实数，使得 ；
推论： l为经过已知点a且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点o，点p在直线l上的充要条件是。
6. 空间向量共面：
共面向量同一平面的向量。
定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在使得。
推论：空间一点p与不在同一直线上的三点a,b,c共面的充要条件是：
存在使。 对空间任意一点o，有。
7. 向量的数量积。
8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示。
9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系o-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着 .
10. 设a，b，则＝ .
11. 向量的直角坐标运算：设a＝，b＝，则。
a＋ba－baa·b
典型例题。
例1 如图，空间四边形oabc中，，，点m在oa上，且om=2ma,点为的中点，则。
例2 如图，在直三棱柱abc—a1b1c1中，,点是的中点，求证：.
学习评价 当堂检测。
1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（ ）
a．0 b. 1 c. 2 d. 3
2．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ）若a、b、c三向量共面，则实数λ=
a. b. c. d.
3．若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（ ）
a.充分不必要条件 b.必要不充分条件。
c.充分必要条件 d.既不充分又不必要条件。
4．已知△abc的三个顶点为a（3，3，2），b（4，－3，7），c（0，5，1），则bc边上的中线长为（ ）
a．2 b．3 c．4 d．5
5.则（ ）
a．－15 b．－5 c．－3 d．－1
6．直三棱柱abc—a1b1c1中，若，，，则（ ）
a. b. c. d.
a． b、与不平行也不垂直 c.， d．以上情况都可能。
8. 已知++＝2，||3，||则向量与之间的夹角为（ ）
a．30° b．45° c．60° d．以上都不对。
9.已知且与互相垂直，则的值是（ ）
a. .1 b. c. d.
10. 若a(m＋1，n－1,3)， b. (2m,n,m－2n)，c(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n
11、如图，在棱长为1的正方体中，点分别是的中点。
求证：； 求与所成角的余弦；
求的长。第三章空间向量（复习）
班级： 姓名学号：
学习目标 1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算；
2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具。
学习过程 一、课前准备。
预习教材p115－116，找出惑之处）
复习1：如图，空间四边形中，.点m在oa上，且om=2ma, n为bc中点，则
复习2：平行六面体中， ，点p,m,n分别是。
的中点，点q在上，且，用基底表示下列向量：
主要知识点：
1. 空间向量的运算及其坐标运算：
空间向量是平面向量的推广， 有关运算方法几乎一样，只是“二维的”变成 “三维的”了。
2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具。
平行与垂直的判断 ②角与距离的计算。
典型例题。
例1 如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力、、，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是，且。这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？
小结：在现实生活中的问题，我们可以转化我数学中向量的问题来解决，具体方法有坐标法和直接向量运算法，对能建立坐标系的题，尽量使用坐标计算会给计算带来方便。
例2 如图，在直三棱柱中，,点m是的中点，求证：.
例3 如图，长方体中，点e,f分别在上，且，.
求证：平面；
当时，求平面与平面所成的角的余弦值。
动手试试。
练1. 如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为。
试建立适当的坐标系，写出点的坐标。
求的侧面所成的角。
练2. 已知点a(1,-2,0),向量，求点b的坐标，使得，且。
三、总结提升。
学习小结。
1. 空间向量的运算与平面向量的方法相同；
2. 向量的数量积和平面的法向量是向量解决立体几何问题常用的方法。
知识拓展。
若二面角两个面的法向量分别是，二面角为。
则，而。学习评价
当堂检测。
1.已知，且，则k＝ ；
2. 已知，则的最小值是（ ）
a. b. c. d.
3.空间两个单位向量与的夹角都等于，则
4.将正方形沿对角线折成直二面角后，异面直线所成角的余弦值为 .
5. 正方体的棱长为，,n是的中点，则＝（
a. b. c. d.
6、如图，在棱长为1的正方体中，点分别为的中点。
求证：; 求与所成角的余弦值；
求的长。7、正三棱柱的底面边长为1，棱长为2，点m是bc的中点，在直线上求一点n，使。
空间向量与立体几何导学
3.1.1空间向量及其运算。班级 姓名学号 学习目标 1.理解空间向量的概念，掌握其表示方法 2.会用图形说明空间向量加法 减法 数乘向量及它们的运算律 3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题 学习过程 一 课前准备。预习教材p84 p86，找出疑惑之处 复习1 平面向量基本概...
空间向量与立体几何 2向量法在立体几何中的综合应用
空间向量与立体几何 2 向量法在立体几何中的综合应用。学习目标 1 能够建立空间直角坐标系 2 掌握平面的法向量的求解方法 4 掌握向量法在一些平行 垂直证明中的应用 3 掌握向量法 面角和二面角的应用 重难点 重点 空间直角坐标系的建立和法向量的求解。难点 掌握法向量 面角和二面角的应用。基础内容...
2 立体几何 空间向量
高考解答题类型二 空间立体几何 空间向量 20 05山东文 理 本小题满分12分 如图，已知长方体，直线与平面所成的角为，垂直于为的中点 求异面直线与所成的角 求平面与平面所成二面角 锐角 的大小 求点到平面的距离。19 06山东理 本小题满分12分 如图，已知平面平行于三棱锥的底面abc，等边 所...