建立空间直角坐标系的途径。
途径一：利用图形中现成的垂直关系建立坐标系：当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系．
垂直。线线垂直。
线面垂直。面面垂直。
1、如图，在长方体中，ad==1，ab=2，点e在棱ab上移动。建立如图所示的空间直角坐标系。
（1）证明：；
2）求平面的一个法向量及单位法向量。
解：设，则，。
（ⅰ）证明：由，有，于是。
（ⅱ）设平面的法向量为，单位法向量为，由，解得。于是。
2、如图，四棱锥中，底面abcd为矩形，底面abcd，ad=pd，e，f分别cd、pb的中点。
ⅰ）求证：ef平面pab；
ⅱ）设ab=bc，求ac与平面aef所成角的正弦值。
法1：ⅰ）证明：取pa中点g，连结fg，dg，法2：
证明：建立空间直角坐标系（如图5），设ad=pd=1，ab=（）则e(a,0,0),c(2a,0,0),a(0,1,0),b(2a,1,0),p(0,0,1),.
得，，。由，得，即，同理，又，所以，ef平面pab。
ⅱ）解：由，得，即。得，，。
有，，。设平面aef的法向量为，由，解得。
于是。 设ac与面aef所成的角为，与的夹角为。
则。3、在长方体abcd－a1b1c1d1中，已知ab＝aa1＝a，bc＝a，m是ad的中点。
求证：平面a1mc⊥平面a1bd1；
解：以d点为原点，分别以da,dc,dd1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角。
坐标系d-xyz如图所示。
,求出平面a1mc的一个法向量为：
又， ,求出平面a1bd1的一个法向量为：
, 即平面a1mc平面a1bd1.
4、在正三棱锥abc－a1b1c1中，，求证：.
途径二：利用图形中的对称关系建立坐标系：图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．
5、如图，在正四棱锥中，, 求二面角的余弦值。
解：设二面角的平面角为，平面的法向量为。
设平面的法向量为， .
6、如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱，，，为的中点。求异面直线ab与md所成角的大小。
方法1：作于点p，如图，分别以ab，ap，ao所在直线为轴建立坐标系。
方法2：（利用菱形对角线互相垂直）连结bd，设交ac于e，取oc中点为f，以e为原点，eb、ec、ef所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系。
途径三。利用面面垂直的性质建立坐标系：图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．
7、在四棱锥p—abcd中，平面pab⊥平面abcd，底面abcd是边长为2的正方形，△pab等边三角形。 求二面角b—ac—p的余弦值。
解 （1）建立如图的空间直角坐标系o—xyz，则a（－1，0，0），b（1，0，0），则p（0，0，），c（1，2，0）
设为平面pac的一个法向量，则。
又。令z=1，得得。
又是平面abc的一个法向量，设二面角b—ac—p的大小为，则。
8、如图，在三棱锥中，，，平面平面。
ⅰ）求证。ⅱ）求二面角的余弦值；
ⅲ）求异面直线和所成角的正弦值。
解：作于点，平面平面，平面。
过点作的平行线，交于点。
如图，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系 .
ⅰ）证明 .
又。ⅱ）解作于点，连结。平面， 根据三垂线定理得 ，是二面角的平面角。
在中， ，从而，ⅲ）解，异面直线和所成角的正弦值为。
平行于垂直证明。
一、平行。9、已知正三棱柱abc－a1b1c1，d为ac中点。求证：直线ab1∥平面c1db；
二、求角。10、如图在直三棱柱点是的点。
求异面直线与所成角的余弦值。
解：(1)以为为单位正交基底建立空间直角坐标系 则
异面直线与所成角的余弦值为
11、如图所示，af、de分别是⊙o、⊙o1的直径。ad与两圆所在的平面均垂直，ad＝8,bc是⊙o的直径，ab＝ac＝6，oe//ad.
ⅰ)求二面角b—ad—f的大小；
ⅱ)求直线bd与ef所成的角的余弦值。
解 (ⅰad与两圆所在的平面均垂直，ad⊥ab, ad⊥af,故∠bad是二面角b—ad—f的平面角，依题意可知，abcd是正方形，所以∠bad＝450.
即二面角b—ad—f的大小为450.
ⅱ)以o为原点，bc、af、oe所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则o（0，0，0），a（0，，0），b（，0，0）,d（0，，8），e（0，0，8），f（0，，0）
所以，12、如图，在三棱锥中，，平面平面，于点，，，
1）证明△为直角三角形；
2）求直线与平面所成角的正弦值．
1）证明1：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面1分。
记边上的中点为，在△中，，所以．
因为，，所以．……3分。
因为，所以△为直角三角形．
因为，所以．……4分。
连接，在△中，因为，所以．……5分。
因为平面，平面，所以．
在△中，因为，所以6分。
在中，因为，所以．
所以为直角三角形7分。
证明2：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面1分。
记边上的中点为，在△中，因为，所以．
因为，，所以．……3分。
连接，在△中，因为，所以4分。
在△中，因为，所以，所以5分。
因为平面，平面，所以6分。
因为，所以平面．
因为平面，所以．
所以为直角三角形7分。
2）解法1：过点作平面的垂线，垂足为，连，则为直线与平面所成的角8分。
由（1）知，△的面积9分。
因为，所以10分。
由（1）知为直角三角形，所以△的面积11分。
因为三棱锥与三棱锥的体积相等，即，即，所以12分。
在△中，因为，所以13分。
因为．所以直线与平面所成角的正弦值为14分。
解法2：过点作，设，则与平面所成的角等于与平面所成的角8分。
由（1）知，，且，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
过点作于点，连接，则平面．
所以为直线与平面所成的角．……10分。
在△中，因为，所以11分因为，所以，即，所以12分。
由（1）知，，且，所以13分。
因为，所以直线与平面所成角的正弦值为14分。
解法3：延长至点，使得，连接8分。
在△中，所以，即．
在△中，因为，所以，所以．
因为，所以平面9分。
过点作于点，因为平面，所以．
因为，所以平面．
所以为直线与平面所成的角11分。
由（1）知，所以．
在△中，点、分别为边、的中点，所以12分。
在△中，所以，即13分。
因为．所以直线与平面所成角的正弦值为14分。
解法4：以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系8分。
则，，，于是，，．
设平面的法向量为，则。
即。取，则，．
所以平面的一个法向量为12分。
设直线与平面所成的角为，则．
所以直线与平面所成角的正弦值为14分。
第（1）、（2）问都用向量法求解：
1）以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系1分。
则，，．于是，．
因为，所以．
所以．所以为直角三角形7分。
2）由（1）可得，．
于是，，．设平面的法向量为，则即。
取，则，．所以平面的一个法向量为12分。
设直线与平面所成的角为，则．
所以直线与平面所成角的正弦值为14分。
13、如图，三棱柱abc-a1b1c1中，ca=cb,ab=a a1,∠ba a1=60°.
ⅰ)证明ab⊥a1c;
ⅱ)若平面abc⊥平面aa1b1b,ab=cb=2,求直线a1c 与平面bb1c1c所成角的正弦值。
解(ⅰ)取ab中点e,连结ce,,,
ab=,=是正三角形，
⊥ab, ∵ca=cb, ∴ce⊥ab, ∵e,∴ab⊥面，
ab⊥;
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