第三章 3.2 3.2.2
一、选择题。
1．点a(a,0,0)，b(0，b,0)，c(0,0，c)，则平面abc的一个法向量为[,
a．(bc，ac，ab) b．(ac，ab，bc)
c．(bc，ab，ac) d．(ab，ac，bc)
答案] a解析] 设法向量为n＝(x，y，z)，则·n＝0，·n＝0，则。
n＝(bc，ac，ab)．故选a.
2．在正方体abcd－a1b1c1d1中，若e为a1c1的中点，则直线ce垂直于， ,
a．ac b．bd
c．a1d d．a1a
答案] b解析] 直线ce在平面ac内的射影为ac，又ac⊥bd，∴bd⊥ce，故选b.
3．若平面α、β的法向量分别为u＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1,4)，则， ,
a．α∥b．α⊥
c．α、相交但不垂直 d．以上均不正确。
答案] c解析] ∵u＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1,4)，u与v不平行且u与v不垂直，故选c.
4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量(－2，－4，k)，若α∥β则k＝,
a．2 b．－4
c．4 d．－2
答案] c解析。
k＝4，故选c.
5．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos＝－，则l与α所成的角为[,
a．30° b．60°
c．120° d．150°
答案] a解析] 设l与α所成角为θ，cos＝－，又直线与平面所成角θ满足0°≤θ90°.∴sinθ＝|30°.
6．若直线l的方向向量为a＝(－1,0，－2)，平面α的法向量为u＝(4,0,8)，则， ,
a．l∥α b．l⊥α
c．lα d．l与α斜交。
答案] b解析] ∵u＝－4a，∴u∥a，∴a⊥α，l⊥α.故选b.
二、填空题。
7．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m, ,
答案] －8
解析] 设a＝(2，m,1)，b＝(1，，2)．
l∥α，a⊥b，∴2＋m＋2＝0，∴m＝－8.
8．已知平面abc，且a(1,2，－1)，b(2,0，－1)，c(3，－2,1)，则平面abc的一个法向量为t': span', c': 导学号'},
答案] (2,1,0)(答案不唯一)
解析] ＝1，－2,0)，＝2，－4,2)，设平面abc的法向量为n＝(x，y，z)，则。
即。解得令x＝2，则一个法向量为(2,1,0)．
三、解答题。
9．如图所示，m、n、p分别是正方体abcd—a1b1c1d1中的棱cc1、bc、cd的中点．
求证：a1p⊥平面dmn.[,
证明] 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则d(0,0,0)，a1(2,0,2)，p(0,1,0)，m(0,2,1)，n(1,2,0)．
向量＝(0,1,0)－(2,0,2)＝(2,1，－2)，(0,2,1)－(0,0,0)＝(0,2,1)，＝1,2,0)．
⊥，⊥即a1p⊥dm，a1p⊥dn，又dm∩dn＝d，a1p⊥平面dmn.
一、选择题。
1．已知平面α，β的法向量分别为a＝(－1，y,4)，b＝(x，－1，－2)且α⊥β则x＋y的值为[,
a．4 b．－4
c．8 d．－8
答案] d解析] 由已知得a·b＝0，即－x－y－8＝0，则x＋y＝－8.
2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥平面α的是[,
a．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
b．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
c．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
d．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
答案] d解析] 若l∥α，则a·n＝0.而a中a·n＝－2；b中a·n＝1＋5＝6；c中a·n＝－1；只有d选项中a·n＝－3＋3＝0.
3．已知平面α的一个法向量是a＝(cosθ，－sinθ，)平面β的一个法向量b＝(cosθ，sinθ，)若α⊥β则θ＝[
a. b.＋kπ(k∈z)
c.＋2kπ(k∈z) d.π
答案] b解析] 由已知得a·b＝0，即cos2θ－sin2θ＋1＝0，则cos2θ＝－1，2θ＝2kπ＋πk∈z)，则θ＝kπ＋(k∈z)．
4．已知＝(1,5，－2)，＝3,1，z)，若⊥，＝x－1，y，－3)，且bp⊥平面abc，则实数x，y，z分别为[,
a.，－4 b.，－4
c.，－2,4 d．4，，－15
答案] b解析] ∵0，即3＋5－2z＝0，得z＝4.
又bp⊥平面abc，∴bp⊥ab，bp⊥bc.
(3,1,4)，则。
解。二、填空题。
5．若直线l的方向向量与β的法向量分别是a＝(1,0，－2)，b＝(－1，0,2)，则直线l与β的位置关系是t': span', c': 导学号'},
答案] l⊥β
解析] ∵a∥b，∴l⊥β.
6．已知正四棱锥(如图所示)，在向量中，不能作为底面abcd的法向量的向量是t': span', c': 导学号'},
答案] －解析] ∵0，不能作为这个平面的法向量，对其它三个化简后可知均与共线．而po⊥平面abcd，它们可作为这个平面的法向量．
7．如图所示，已知矩形abcd，ab＝1，bc＝a，pa⊥平面abcd，若在bc上只有一个点q满足pq⊥qd，则a的值等于t': span', c': 导学号'},
答案] 2解析] 以a为原点，建立如图所示坐标系，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，d(0，a,0)，c(1，a,0)，设q(1，x,0)，p(0,0，z)，＝1，x，－z)，＝1，a－x,0)．
由·＝0，得－1＋x(a－x)＝0，即x2－ax＋1＝0.
当δ＝a2－4＝0，即a＝2时，q只有一个．
三、解答题。
8．在正方体abcd－a1b1c1d1中，e，f，g，h，m，n分别是正方体六个表面的中心，求证：平面efg∥平面hmn.[,
解析] 如图，建立空间直角坐标系d－xyz，设正方体的棱长为2，易得e(1,1,0)，f(1,0,1)，g(2,1,1)，h(1,1,2)，m(1,2,1)，n(0,1,1)．
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面efg、平面hmn的法向量，由得，令x1＝1，得m＝(1，－1，－1)．
由得。令x2＝1，得n＝(1，－1，－1)．
m＝n，即平面efg∥平面hmn.
9．如图所示，abcd为矩形，pa⊥平面abcd，pa＝ad，m、n、q分别是pc、ab、cd的中点．[,
1)求证：mn∥pad；
2)求证：平面qmn∥平面pad；
3)求证：mn⊥平面pcd.
解析] (1)如图以a为原点，以ab，ad，ap所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设b(b,0,0)，d(0，d,0)，p(0,0，d)，则c(b，d,0)
m，n，q分别是pc，ab，cd的中点，m，n，q，＝，平面pad的一个法向量为m＝(1,0,0)
·m＝0，即⊥m，∴mn不在平面pad内，mn∥平面pad，2)＝(0，－d,0)，⊥m，又qn不在平面pad内，又qn∥平面pad.又∵mn∩qn＝n，平面mnq∥平面pad.
3)＝(0，d，－d)，＝b,0,0)，·d＋(－d)＝0，·＝0，⊥，又pd∩dc＝d，∴⊥平面pcd.
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第三章 3.2 3.2.5 一 选择题。1 已知a，b两点到平面 的距离分别为1和2，线段ab在 内的射影线段长为，则直线ab与平面 的夹角为 a.b.c.或 d.或。答案 c解析 按照a，b两点在平面 的同侧或异侧分别讨论 2 不共面的四个点到平面 的距离都相等，这样的平面 共有 a 3个 b 4...
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