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一、填空题。
1．已知a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的___条件．
解析若l⊥α，则l与a，b所在的直线垂直，∴c⊥a，c⊥b，∴c·a＝0，c·b＝0，是必要条件；∵a≠b，∴当a与b同向(或反向)时，由c·a＝0且c·b＝0可以推出c⊥a且c⊥b，但不能推出l⊥α，不是充分条件．
答案必要不充分。
2．已知二面角α－l－β的大小为，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成角的度数为___
解析设m，n的方向向量分别为m，n.由m⊥α，n⊥β知m，n分别是平面α，β的法向量．∵|cos〈m，n〉|＝cos＝，∴m，n〉＝或。但由于两异面直线所成的角的范围是，故异面直线m，n所成的角为。
答案 3．在正四面体pabc中，d，e，f分别是ab，bc，ca的中点，下面四个结论中成立的是___
bc∥平面pdf
df⊥平面pae
平面pdf⊥平面abc
平面pae⊥平面abc
解析 ∵d，f为中点，∴df∥bc，又df面pdf，bc面pdf，∴bc∥面pdf，①正确；∵e为bc中点，正四面体p—abc，∴ae⊥bc，∴pe⊥bc，∴bc⊥面pae，∴df⊥面pae，②正确；∵bc面abc，∴面abc⊥面pae，④正确．假设平面pdf⊥平面abc，则顶点p在底面的射影在df上，又因为正四面体的顶点在底面的射影是底面的中心，因此假设不成立，故③不成立．
答案 ①②4．(2013·潍坊二模)已知m，n是两条不同的直线，α，是两个不同的平面，给出四个命题：
若α∩βm，nα，n⊥m，则α⊥β若m⊥α，m⊥β，则α∥β若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β
其中正确的命题是___
解析命题①中，α与β不一定垂直，不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，命题②正确；易知，命题③正确，命题④不正确．
答案 ②③5．在以下命题中，不正确的个数为___
|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；
对空间任意一点o和不共线的三点a，b，c，若＝2－2－，则p，a，b，c四点共面；
若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；
|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
解析 ①|a|－|b|＝|a＋b|a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．
答案 46．如图所示，在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，o是底面abcd的中心，e，f分别是cc1，ad的中点．那么异面直线oe和fd1所成的角的余弦值等于___
解析建立如图所示的空间直角坐标系，则o(1,1,0)，e(0,2,1)，d1(0,0,2)，f(1,0,0)，＝1，1,1)，＝1,0,2)，·3，||cos〈，〉
即oe与fd1所成的角的余弦值为。
答案 7．已知三棱柱abc－a1b1c1的侧棱与底面边长都相等，a1在底面abc内的射影为△abc的中心，则ab1与底面abc所成角的正弦值等于___
解析设a1在面abc内的射影为o，过o作oh∥bc交ab于点h，以o为坐标原点，oa，oh，oa1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设△abc边长为1，则a，b1，＝.
面abc的法向量n＝(0,0,1)，则ab1与底面abc所成角α的正弦值为sin α＝cos〈，n〉|＝
答案 8．如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：
点m到ab的距离为；
三棱锥c－dne的体积是；
ab与ef所成的角是。
其中正确命题的序号是___
解析依题意可作出正方体的直观图如图，显然m到ab的距离为mc＝，∴正确；而vc－dne＝××1×1×1＝，∴正确；ab与ef所成的角等于ab与mc所成的角，即为，∴③正确．
答案 ①②9．正△abc与正△bcd所在平面垂直，则二面角a－bd－c的正弦值为___
解析取bc中点o，连接ao，do.建立如图所示坐标系，设bc＝1，则a，b，d.∴＝由于＝为平面bcd的一个法向量，可进一步求出平面abd的一个法向量n＝(1，－，1)，∴cos〈n，〉＝sin〈n，〉＝
答案 10．正三棱柱abca1b1c1的棱长都为2，e，f，g为ab，aa1，a1c1的中点，则b1f与平面gef所成角的正弦值为___
解析如图，取ab的中点e，建立如图所示空间直角坐标系exyz.
则e(0,0,0)，f(－1,0,1)，b1(1,0,2)，a1(－1，0,2)，c1(0，，2)，g.
＝(－2,0，－1)，＝1,0,1)，＝设平面gef的一个法向量为n＝(x，y，z)，由得。
令x＝1，则n＝(1，－，1)，设b1f与平面gef所成角为θ，则sin θ＝cos〈n，〉|
答案 11．在正方体abcd－a1b1c1d1中，bb1与平面acd1所成角的余弦值为___
解析如图所示，建立空间直角坐标系，且设正方体的棱长为1，∵db1⊥平面acd1，∴取平面acd1的法向量n＝＝(1,1,1)，又＝＝(0,0,1)，若设bb1与平面acd1所成角为θ，则sin θ＝cos〈n，〉|cos θ＝
答案 12．(2014·南京一模)p是二面角α－ab－β棱上的一点，分别在平面α，β上引射线pm，pn，如果∠bpm＝∠bpn＝45°，∠mpn＝60°，那么二面角α－ab－β的大小为___
解析不妨设pm＝a，pn＝b，如图，作me⊥ab于e，nf⊥ab于f.
∠epm＝∠fpn＝45°，pe＝a，pf＝b，·－
abcos 60°－a×bcos 45°－abcos 45°＋a×b＝－－0，⊥，二面角α－ab－β的大小为90°.
答案 90°
13．如图，在矩形abcd中，ab＝3，bc＝1，ef∥bc且ae＝2eb，g为bc的中点，k为af的中点．沿ef将矩形折成120°的二面角a－ef－b，此时kg的长为___
解析如图，过k作km⊥ef，垂足m为ef的中点，则向量与的夹角为120°，〈60°.又＝＋＝2＝2＋2＋2·＝1＋1＋2×1×1×cos 60°＝3.∴|
答案 14．(2014·梅州模拟)如图，在三棱锥s－abc中，∠sba＝∠sca＝90°，△abc是斜边ab＝a的等腰直角三角形，给出以下结论：
异面直线sb与ac所成的角为90°；
直线sb⊥平面abc；
平面sbc⊥平面sac；
点c到平面sab的距离是a.
其中正确结论的序号是___
解析由题意知ac⊥平面sbc，故ac⊥sb，sb⊥平面abc，平面sbc⊥平面sac，①②正确；取ab的中点e，连接ce，可证得ce⊥平面sab，故ce的长度即为c到平面sab的距离，为a，④正确．
答案 ①②二、解答题。
15．如图，在四棱锥p－abcd中，pa⊥平面abcd，pb与底面成的角为45°，底面abcd为直角梯形，∠abc＝∠bad＝90°，pa＝bc＝ad＝1.问：在棱pd上是否存在一点e，使得ce∥平面pab？
若存在，求出e点的位置，若不存在，请说明理由．
解分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．
则p(0,0,1)，c(1,1,0)，d(0,2,0)，设e(0，y，z)，则。
(0，y，z－1)，＝0,2，－1)，∥y(－1)－2(z－1)＝0，①
＝(0,2,0)是平面pab的法向量，(－1，y－1，z)，由ce∥平面pab，可得⊥.
(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0.
y＝1，代入①式得z＝.∴e是pd的中点，即存在点e为pd中点时，ce∥平面pab
16．(2013·福建卷节选)如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱aa1⊥底面abcd，ab∥dc，aa1＝1，ab＝3k，ad＝4k，bc＝5k，dc＝6k(k＞0)．
1)求证：cd⊥平面add1a1；
2)若直线aa1与平面ab1c所成角的正弦值为，求k的值．
1)证明取cd的中点e，连接be，如图1.
ab∥de，ab＝de＝3k，四边形abed为平行四边形，be∥ad且be＝ad＝4k.
在△bce中，∵be＝4k，ce＝3k，bc＝5k，be2＋ce2＝bc2，∠bec＝90°，即be⊥cd，又∵be∥ad，∴cd⊥ad.
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