第三章 3.2 3.2.5
一、选择题。
1．已知a，b两点到平面α的距离分别为1和2，线段ab在α内的射影线段长为，则直线ab与平面α的夹角为[,
a. b.
c.或 d.或。
答案] c解析] 按照a，b两点在平面α的同侧或异侧分别讨论．
2．不共面的四个点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有[,
a．3个 b．4个。
c．6个 d．7个。
答案] d解析] 不共面的四个点构成三棱锥．平行于各个面的中截面有4个，夹在一组对棱正中间且与它们平行的平面有3个．
3．在长方体abcd－a1b1c1d1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点a1到截面ab1d1的距离为[,
a. b.
c. d.
答案] c解析] 利用va－a1b1d1＝va1－ab1d1可求得点a1到截面ab1d1的距离为。
4．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点a(－1,3,0)在α内，则p(－2,1,4)到α的距离为[,
a．10 b．3
c. d.
答案] d解析] ＝1，－2,4)，d＝＝.
5．已知平行四边形abcd中，ab⊥bc，∠bca＝30°，ac＝20，pa＝5，且pa⊥面abcd，则p到bc的距离为[,
a．5 b．5
c．5 d．5
答案] c解析] 由已知ab＝20sin30°＝10，又pa＝5，∴pb＝＝5.故选c.
6．在直角坐标系中，a(－2,3)，b(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则ab的长度为[,
a. b．2
c．3 d．4
答案] b解析] 过a，b作x轴的垂线，垂足分别为a′，b′，则||＝3，||2，||5，又＝＋＋2＝32＋52＋22＋2×3×2×＝44，||2，故选b.
二、填空题。
7．已知直角三角形abc的直角顶点c在平面α内，ab∥α，ac，bc与α所成角分别为45°和30°，若ab＝6，则ab到α的距离为t': span', c': 导学号'},
答案] 解析] 设ab到α的距离为h，cb＝＝2h，ac＝＝h，由勾股定理ab2＝ac2＋cb2可得(h)2＋(2h)2＝62，解得h＝.
8．在三棱锥p－abc中，侧棱pa，pb，pc两两垂直，且pa＝pb＝pc＝2，则点p到平面abc的距离等于t': span', c': 导学号'},
答案] 解析] 利用va－pbc＝vp－abc可求得点p到平面abc的距离为。
三、解答题。
9．在边长为a的菱形abcd中，∠abc＝120°，pc⊥平面abcd，e是pa的中点，求e到平面pbc的距离．[,
解析] ∵e是pa的中点，∴e到平面pbc的距离等于a到平面pbc的距离的一半．
pc⊥平面abcd，∴平面pbc⊥平面abcd，故过a在平面abcd内作ah⊥bc，交bc于h，得ah⊥平面pbc，ah为a到平面pbc的距离．
又ah＝ab·sin60°＝a，则e到平面pbc的距离为a.
一、选择题。
1．在四面体p－abc中，pa、pb、pc两两垂直，m是面abc内一点，且m到其它三面的距离分别是，则m到顶点p的距离是[,
a．7 b．8
c．9 d．10
答案] a解析] 以p为原点，pa，pb，pc所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由已知m(2,3,6)，|mp|＝＝7.
2．如图，正三棱柱abc－a1b1c1的各棱长都是2，e、f分别是ab、a1c1的中点，则ef的长是[,
a．2b.
c. d.
答案] c解析] 解法一：建立如图所示直角坐标系，则a1(0，－1,2)，c1(0,1,2)，e(，，0)，f(0,0,2)．
则＝(－2)，|
解法二：设ac中点为g，连ce在rt△fge中|ef|2＝|fg|2＋|ge|2＝4＋1＝5.∴ef＝.
3．将锐角为60°，边长为a的菱形abcd沿较短的对角线bd折成60°的二面角，顶点a，c间距离为[,
a．a b. a
c. a d. a
答案] d解析] 取bd中点o，则ao⊥bd，co⊥bd，∠aoc＝60°，又ao＝co＝a，∴ac＝a.故选d.
4．已知正四棱柱abcd－a1b1c1d1中，ab＝2，cc1＝2，e为cc1的中点，则直线ac1与平面bed的距离为[,
a．2 b.
c. d．1
答案] d解析] 本小题主要考查了正四棱柱的性质的运用，以及点到面的距离的求解．连结ac交bd于o，连eo，则oe∥ac1.
ac1到平面bed的距离，即为c1点到平面bed之距，又c1e＝ce且cc1∩平面bed＝e，∴c1点到平面bed之间距离等于c点到平面bed之距．又bd⊥平面eco，∴平面bed⊥平面eco，过c作ch⊥eo于h，则ch即为点c到平面bed之距，∴ch＝＝＝1.故选d.
二、填空题。
5．如图所示，在直平行六面体abcd－a1b1c1d1中，bd⊥dc，bd＝dc＝1，点e在aa1上 ，且ae＝aa1＝.dc1⊥be.则点b到平面edc1的距离为t':
span', c': 导学号'},
答案] 解析] 建立如图所示的坐标系，则d(0,0,0)，a(1，－1,0)，b(1,0,0)，c(0,1,0)，c1(0，1,2)，e(1，－1，)，0,1,2)，＝1，－1，)．
设平面edc1的法向量为n＝(x，y,1)，n可取为(－，2,1)．
点b到平面edc1的距离为d＝＝＝
6．如图，在正三棱柱abc－a1b1c1中，所有棱长均为1，则点b1到平面abc1的距离为t': span', c': 导学号'},
答案] 解析] vb1－abc1＝va－bb1c1
va－bb1c1＝s△bb1c1×ab＝
vb1－abc1＝s△abc1·h，s△abc1＝ab·＝，h＝.
7．在底面是直角梯形的四棱锥p－abcd中，侧棱pa⊥底面abcd，bc∥ad，∠abc＝90°，pa＝ab＝bc＝2，ad＝1，则ad到平面pbc的距离为t': span', c': 导学号'},
答案] 解析] 由已知ab，ad，ap两两垂直．
以a为坐标原点建立空间直角坐标系，a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(2,2,0)，p(0,0,2)，则＝(2,0，－2)．
(0,2,0)，设平面pbc的法向量为n＝(a，b，c)，则，n＝(1,0,1)，又＝(2,0,0)，∴d＝＝.
三、解答题。
8．在四面体abcd中，ab，bc，bd两两垂直，且ab＝bc＝2，e为ac的中点，若异面直线ad与be所成角的余弦值为，求点b到平面acd的距离．[,
解析] 如图所示，以b为坐标原点，bc，ba，bd所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系b－xyz，则a(0,2,0)，c(2,0,0)，e(1,1,0)．
设d(0,0，z)(z>0)，则＝(1,1,0)，＝0，－2，z)．
设与所成角为θ，由图知直线be与ad所成角为π－θ
而·＝×cosθ＝－2，××2，z＝4，即d(0,0,4)．
设向量n＝(x，y，z)是平面acd的一个单位向量，则n⊥且n⊥，由＝(2，－2,0)，＝0，－2,4)，得。
取x＝，则y＝，z＝.∴n＝.
又＝(0,0,4)，∴点b到平面acd的距离d＝|·n|＝.
9．在直三棱柱abc－a1b1c1中，∠bac＝90°，ab＝bb1＝1，直线b1c与平面abc所成的角为30°.试求点c1到平面ab1c的距离．[,
解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，在rt△b1bc中，bb1＝1，∠b1cb＝30°，bc＝，b1c＝2，a(0,0,0)、b(1,0,0)、c(0，，0)、a1(0,0,1)、b1(1,0,1)，c1(0，，1)，设n＝(x，y，z)是由c1向平面ab1c所作垂线上的方向单位向量，则n⊥，且n⊥.
即。解得n＝(另一种情况舍去)，·n＝(－1，，0)·＝则d＝|·n|＝|为所求的距离．
空间向量与立体几何同步检测
第三章 3.2 3.2.2 一 选择题。1 点a a,0,0 b 0，b,0 c 0,0，c 则平面abc的一个法向量为 a bc，ac，ab b ac，ab，bc c bc，ab，ac d ab，ac，bc 答案 a解析 设法向量为n x，y，z 则 n 0，n 0，则。n bc，ac，ab 故选...
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