全国高考数学分类汇编：空间向量与立体几何。
1．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于( a )
a．－2b．－1c．±1d．2
2．已知a＝(2，－ 1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x, 2)，若(a＋b)⊥c，则x等于( b )
a．4 b．－4cd．－6
3．若a＝(1，λ，1)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦为，则|a|等于( c )
ab. cd.
解析：因为a·b＝1×2＋λ×1)＋(1)×2＝－λ又因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝·所以＝－λ解得λ2＝，所以|a|＝＝答案：c
4.如图，在空间直角坐标系中有四棱锥p－abcd，底面abcd是边长为2的正方形，pa⊥平面abcd，且pa＝2，e为pd的中点，则| |等于( c )
a． 2bcd．2
5．已知向量a＝(－1, 0,1)，b＝(1,2,3) ，k∈r，若ka－b与b垂直，则k＝_7__.
解析：因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，所以ka·b－|b|2＝0，所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－(2＝0，解得k＝7.答案：7
6．若两条不同直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)、b＝(－2,3,2)，则( b )
a．l1∥l2 b．l1⊥l2 c．l1、l2相交但不垂直 d．l1与l2的关系不能确定。
7．已知l∥π，且l的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为，则m等于 (
a．－8 b．－5 c．5d．8
解析：∵l∥π，直线l的方向向量与平面π的法向量垂直．∴2＋＋2＝0，m＝－8.答案：a
8．若两个不同平面π1、π2的法向量分别为n1＝(1,2，－2)、n2＝(－3，－6,6)，则( a )
a．π1∥π2 b．π1⊥π2c．π1、π2相交但不垂直 d．以上均不正确。
9．设平面π1的法向量为(1,2，－2)，平面π2的法向量为(－2，－4，k)，若π1∥π2，则k＝( c )
a．2b．－4c．4d．－2
10．已知直线l1的一个方向向量为 (－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则xy＝__解析：∵l1∥l2，∴＝x＝－14，y＝6.答案：－14 6
11．若平面π1的一个法向量为n1＝(－3，y,2)，平面π2的一个法向量为n2＝(6，－2，z)，且π1∥π2，则 y＋z解析：∵π1∥π2，∴n1∥n2.∴＝y＝1，z＝－4.
∴y＋z＝－3.答案：－3
12．已知平面π内有一个点m(1，－1,2)，平面π的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点p中，在平面π内的是( )
a．p(2,3, 3b．p(－2,0,1c．p(－4,4,0d．p(3，－3,4)
解析：对选项a：＝(1,4,1)．·n＝6－12＋6＝0.∴⊥n，故点p(2,3,3)在π内． 答案：a
13．已知a，b，c三点的坐标分别为a(4,1,2)，b(2,5，－1)，c(3,2，λ)若ac⊥bc，则解析：∵＝1,1，λ－2)，＝1，－3，λ＋1)，且⊥，∴1－3＋(λ2)(λ1)＝0.解得λ＝3或－2.
答案：3或－2
14．在长方体abcd－a1b1c1d1中，m、n分别是棱bb1、b1c1的中点，若∠cmn＝90°，则异面直线ad1与dm的夹角为( d )
a．30° b．45° c．60d．90
15.(2012·陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱abc－a1b1c1，ca＝cc1＝2cb，则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为( )abcd.
解析：设ca＝2，则c(0,0,0)，a(2,0,0)，b(0,0,1)，c1(0,2,0)，b1＝(0,2,1)，可得向量＝(－2,2,1)，(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉
＝.答案：a
16．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点a(2，－1,0)在α内，则p (1,3，－2)到α的距离为( c )
a．10b．3cd.
17．已知正方体abcd－a1b1c1d1的棱长为a，则点a1到直线bc1的距离是( a )
a. ab．a c. ad.
18．在长方体abcd－a1b1c1d1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点a1到截面ab1d1的距离为( )
abcd.
解析：如图，建立空间直角坐标系，则d(0,0,0)，a(2,0,0)，a1(2,0,4)，b1(2,2,4)，d1(0,0,4)．
＝(2,2,0)，＝2,0，－4)，＝0,0,4)，设n＝(x，y，z)是平面ab1d1的一个法向量，则n⊥，n⊥，∴即。
令z＝1，则平面ab1d1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．
由在n上射影可得a1到平面ab1d1的距离为d＝＝.答案：c
19．在直三棱柱abc－a1b1c1中，aa1＝bc＝ab＝2，ab⊥bc，求平面a1c1c与平面a1b1c的夹角．
解：如图所示，建立空间直角坐标系．则a(2,0,0)，c(0,2,0)，a1(2, 0,2)，b1(0,0,2)，c1(0,2,2)，设ac的中点为m，连bm，∵bm⊥ac，bm⊥cc1，∴bm⊥平面a1c1c，即＝(1,1,0)是平面a1c1c的一个法向量．
设平面a1b1c的一个法向量是n＝(x，y，z)，＝2,2，－2)，＝2,0,0)，n·＝－2x＝0，n·＝－2x＋2y－2z＝0.令z＝1，解得x＝0，y＝1.∴n＝(0,1,1)．
设法向量n与的夹角为φ，平面a1c1c与平面a1b1c的夹角为θ.
cos θ＝cos φ|解得θ＝，即平面a1c1c与平面a1b1c的夹角为。
20．在棱长为1的正方体abcd－a1b1c1d1中，建立适当的空间直角坐标系，求cos〈，〉
解：建立如图所示的空间直角坐标系．则a(0,0,0)，c (1,1,0)，a1 (0,0,1)，c1(1,1,1)，可知＝(1,1,1)，＝1,1，－1)．所以cos〈，〉
21.【2012高考陕西理】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为（ a ） a. b. c. d.
22．设a＝(x,4,3) ，b＝(3,2，z)，若a∥b，则xz等于( b )
a．－4 b．9c．－9d.
23．已知a(2，－5,1)，b(2，－2,4)，c(1，－4,1)，则与的夹角为( c )
a．30b．45° c．60d．90°
24．已知向量＝，＝则平面amn的一个法向量是( d )
a．(－3，－2,4) b．(3,2，－4) c．(－3，－2，－4) d．(－3,2，－4)
25.如图，在正方体abcd－a1b1c1d1中，e、f、g、h分别为aa1、ab、bb1、b1c1的中点，则异面直线ef与gh的夹角等于( b )
a．45b．60° c．90d．120°
解析：以d为原点，da，dc，dd1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，则e，f，g，h，∴＝cos〈·〉ef与gh的夹角为60°.答案：b
26．正方体abcd－a1b1c1d1中，直线bc1与平面a1bd夹角的余弦值为( c )
abcd.
解析：以a为坐标原点，以ab，ad，aa1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则c1(1，1,1)，a1(0,0,1)，b(1,0,0)，d(0,1,0)．
＝(1,1,1)，＝1,0,1)，＝1,1,0)，·0，·＝0，即为平面a1bd的法向量．
设bc1与面a1bd夹角为θ，又＝(0, 1,1)，则sin θ＝cos θ＝答案：c
27．平面α的法向量为m＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n＝(0，－1,1)，则平面α与平面β的夹角的大小为___解析：cos〈m，n〉＝＝m，n〉＝120°，即平面α与β的夹角大小为60°.答案：
60°28．已知a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4, 1)．若c与a及b都垂直，则m，n的值分别___
29．(如图所示，直三棱柱abc－a1b1c1中，ca＝cb＝1，∠bca＝90°，棱aa1＝2，m、n分别是a1b1、a1a的中点．
1)求的长；
2)求a1到平面bcn的距离；
3)求证：a1b⊥c1m.
解：如图，建立空间直角坐标系．
1)依题意得b(0,1,0)，n(1,0,1)，＝1，－1,1)，即||＝
2)依题意得a1(1,0,2)、b1(0,1,2)，＝1，－1,2)，＝0,1,2)，·3，||cos〈，〉
设平面bcn的一个法向量为n＝(x，y，z)，＝1，－1，1)，＝0,1,0)，得取x＝1，得n＝(1,0，－1)．n0＝，则a1到平面bcn的距离为d＝|·n0|＝|
3)证明：依题意得c1(0,0, 2)、m，＝ 1,1，－2)，＝
空间向量与立体几何教师版
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