空间向量与立体几何(约12课时)
一、知识要求及变化。
在生活中，我们经常会遇到这样一些与方向有关的量，比如力、速度、加速度等等，这些量在物理中我们称为矢量，在数学中，我们进一步抽象为向量。向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有着极其丰富的数学和物理背景；同时它也是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在表述和解决相关问题中有着重要应用。
本模块的主要内容分为两部分，一部分是介绍空间向量及其运算，另一部分是介绍空间向量在立体几何问题中的应用，我们将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题（平行、垂直、距离、角度等），感受向量方法在研究空间关系中的作用。
本章的重点内容是空间向量的运算性质和它在立体几何问题中的应用，学习难点是空间关系（平行、垂直、相交、共线、共点等）的判断与证明，以及空间度量（角度、距离），突破难点的关键在于掌握向量法处理问题的一般思路和典型问题处理的一般方法，加强解题教学和解题训练。
1、整体定位。
根据课程标准的设计思路，对每一部分都有一个整体定位。为了更好的把握空间向量与立体几何这部分内容的要求，首先需要明确整体定位。标准对空间向量与立体几何这部分内容的整体定位如下：
用空间向量处理立体几何问题，提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力。
”2、课程标准的要求。
（1）空间向量及其运算。
① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用。
① 理解直线的方向向量与平面的法向量。
② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。
③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见例1、例2、例3）。
④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
3、课程标准要求的具体化和深广度分析。
空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。教学过程中应注意维数增加所带来的影响。在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。
例如：(03年．现行理、新课程理(18)、江苏、河南(19)．)
如图，在直三棱柱abc－a1b1c1中，底面是等腰直角三角形，∠acb＝90°，侧棱aa1＝2，d、e分别是cc1与a1b的中点，点e在平面abd上的射影是△abd的重心g．
ⅰ)求a1b与平面abd所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；
ⅱ)求点a1到平面aed的距离．
本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想像能力和推理运算能力，满分12分．
解法1： (连结bg，则bg是be在面abd的射影，即∠a1bg是a1b与平面abd所成的角．
如图所示建立坐标系，坐标原点为o，设ca＝2a，则 a (2a，0，0)，b (0，2a，0)，d(0，0，1)，a1(2a，0，2)，e(a，a，1)，．
eg⊥dg，，解得 a＝1．又，．
a1b与平面abd所成角是．
ⅱ)由(ⅰ)有a(2，0，0)，a1(2，0，2)，e(1，1，1)，d(0，0，1)．
ed⊥平面aa1e，又ed平面aed， 平面aed⊥平面aa1e，又面aed面aa1e＝ae， 点a1在平面aed的射影k在ae上．
设，则．由，即++－2＝0，解得．
．故a1到平面aed的距离为．
解法2：(ⅰ连结bg，则bg是be在面abd的射影，即∠ebg是a1b与平面abd所成的角．
设f为ab中点，连结ef、fc， d、e分别是cc1、a1b的中点，又dc⊥平面abc， cdef为矩形．
连结df，g是△adb的重心，g∈df．
在直角三角形efd中， ef＝1，∴ 4分。于是。
a1b与平面abc所成的角是。
ⅱ)连结a1d，有。
ed⊥ab，ed⊥ef，又efab＝f， ed⊥平面a1ab．
设a1到平面aed的距离为h．则 又
即a1到平面aed的距离为。
4、教学要求。
1、 课程标准要求，与大纲比较。
2、 阶段性要求与终结要求的说明。
按照《课程标准》对《空间向量与立体几何》进行的教学要求，既是阶段性要求也是终结性要求。
二、重点和难点。
1、重、难点的分析。
教学重点是：
经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，使学生了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法，掌握空间向量的加减运算及其运算律。
掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线（平行）向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法，并能理解共线向量定理（不要求学生会证明此定理）和共面向量定理及其推论并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题。
了解两个向量的数量积（或称内积、点积）的计算方法及其应用。
了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，并会在简单问题中选用空间三个不同向量作为基底表示其它向量。
掌握空间向量的坐标运算规律，理解直线的方向向量与平面的法向量，理解平行、共线向量坐标间的关系式，会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直，掌握向量长度公式、两向量的夹角公式、空间两点间的距离公式，并会用这些知识解决解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及简单立体几何问题。
理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
教学的难点是：
空间向量的基本定理。
如何将立体几何问题转化为向量的计算问题。
2、重、难点教学案例。
教学设计案例。
课题3 . 2 立体几何中的向量方法（例4）
例4 如图，在四棱锥ｐ－ａ中，底面ａｂｃ是正方形，侧棱ｐｄ⊥底面ａｂｃ是ｐｃ的中点，作ｅｆ⊥交ｐｂ于点ｆ．
１）求证：ｐａ平面ｅｄｂ
２）求证：ｐｂ平面ｅｆｄ
３）求二面角ｃ－ｐ的大小。
一）教学任务分析。
1 ．通过利用向见方法解决例4 这个综合性较强的问题，使学生进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”.
2 ．结合例4 的解题过程，重点讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性．
3 ．结合例4 ，对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结．
二）教学重点、难点。
重点：例4 的解法（坐标法与向量法结合）.
难点：适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线．
三）教学基本流程。
回顾立体几何中的向量方法“三步曲”
分析例4 的已知条件及求解内容，考虑如何通过坐标把问题向量化。
分步讨论例4 的解法。
结合例4 的解法，再次回顾“三步曲”讨论建立坐标系在解法中的作用。
讨论思考题。
小结练合法、向量法、坐标法的联系。
做练习题，布置作业。
四）教学情境设计问题。
《空间向量与立体几何
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