21.空间向量与立体几何综合考题。
1.如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点b，且（1）求棱与bc所成的角的大小；（2）**段上确定一点p，使，并求出二面角的平面角的余弦值．ks5u
解法一：（1）如图，以a为原点建立空间直角坐标系，则，，．
故与棱bc所成的角是．6分。
2）设，则．于是（舍去），则p为棱的中点，其坐标为．8分设平面的法向量为，则，即，令，故11分，而平面的法向量=(1,0,0)，则故二面角的平面角的余弦值是．
解法二：(1) 由题意可知，所以是与棱bc所成的角(或其补角)，连接和又，且在平行四边形中，由余弦定理可得。
在rt△中，由勾股定理可得。在△中，由余弦定理可得故棱与棱bc所成的角是．
2) 作于q，连接qa，pa， 作于r，则r应在ab的延长线上，连接pr， 由题意可知，，∴是二面角的平面角。
设，则，，在△中，
在rt△中，由可得，解得或(舍去)，即p是中点。 在rt△中，即二面角的平面角的余弦值是．
2．如图5，在三棱柱中，侧棱底面，为的中点，.
1）求证：平面；（2）若四棱锥的体积为， 求二面角的正切值。
1）证明： 连接，设与相交于点，连接，∵ 四边形是平行四边形，∴点为的中点。 ∵为的中点，∴为△的中位线，∴.2分∵平面，平面，∴平面4分。
2)解： 依题意知，，∵平面，平面，∴ 平面平面，且平面平面。作，垂足为，则平面，6分设，在rt△中，，，四棱锥的体积。 8分依题意得，，即。 9分。
以下求二面角的正切值提供两种解法)
解法1:∵,平面，平面，∴平面。取的中点，连接，则，且。
∴平面。作，垂足为，连接，由于，且，∴平面。∵平面，∴.
为二面角的平面角。12分由rt△～rt△,得，得，在rt△中， .二面角的正切值为。
14分。
解法2: ∵平面，平面， ∴平面。以点为坐标原点，分别以， ,所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系。则， ,设平面的法向量为， 由及，得。
令，得。 故平面的一个法向量为， 11分。
又平面的一个法向量为，∴,12 ∴,13分∴,.二面角的正切值为。 14分。
3．如图6，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于、的点，，圆的直径为9．
1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的正切值．
1）证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，∴．在正方形中，，∵平面．∵平面，∴平面平面． （2）解法1：∵平面，平面，． 为圆的直径，即．设正方形的边长为，在△中，，在△中，，由，解得，． 过点作于点，作交于点，连结，由于平面，平面，∴．平面．∵平面，．∵平面．∵平面，∴．是二面角的平面角．在△中，，，在△中，∴．故二面角的平面角的正切值为．
解法2：∵平面，平面，∴．为圆的直径，即． 设正方形的边长为，在△中，，在△中，，由，解得，．∴
以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，科§． 设平面的法向量为， 则即取，则是平面的一个法向量．设平面的法向量为，则即取，则是平面的一个法向量．∵，
故二面角的平面角的正切值为．
4．如图，已知四棱锥p-abcd，底面abcd为菱形，pa⊥平面abcd，，e，f分别是bc, pc的中点。
1）证明：ae⊥pd；（2）若h为pd上的动点，eh与平面pad所成最大角的正切值为，求二面角e—af—c的余弦值。
解：（1）证明：由四边形abcd为菱形，∠abc=60°，可得△abc为正三角形。
因为e为bc的中点，所以ae⊥bc.又bc∥ad，因此ae⊥ad.因为pa⊥平面abcd，ae平面abcd，所以pa⊥ae.
而pa平面pad，ad平面pad 且pa∩ad=a，所以ae⊥平面pad，又pd平面pad.所以 ae⊥pd.
2）解：设ab=2，h为pd上任意一点，连接ah，eh.由（ⅰ）知ae⊥平面pad，则∠eha为eh与平面pad所成的角。
在rt△eah中，ae=，所以当ah最短时，∠eha最大，即当ah⊥pd时，∠eha最大。此时tan∠eha=因此ah=.又ad=2，所以∠adh=45°，所以pa=2.
解法一：因为pa⊥平面abcd，pa平面pac，所以平面pac⊥平面abcd.过e作eo⊥ac于o，则eo⊥平面pac，过o作os⊥af于s，连接es，则∠eso为二面角e-af-c的平面角，在rt△aoe中，eo=ae·sin30°=，ao=ae·cos30°=,又f是pc的中点，在rt△aso中，so=ao·sin45°=,又在rt△eso中，cos∠eso=即所求二面角的余弦值为。
解法二：由（1）知ae，ad，ap两两垂直，以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又e、f分别为bc、pc的中点，所以a（0，0，0），b（，-1，0），c（c，1，0），d（0，2，0），p（0，0，2），e（，0，0），f（），所以设平面aef的一法向量为则因此。
取因为 bd⊥ac，bd⊥pa，pa∩ac=a，所以 bd⊥平面afc，故为平面afc的一法向量。又=（）所以 cos＜,＞因为二面角e-af-c为锐角，所以所求二面角的余弦值为。
5．如图3，在四面体中，，且。
1)设为的中点，证明：在上存在一点，使，并计算的值；
2)求二面角的平面角的余弦值。
解法一：（1）在平面内作交于，连接。又，， 取为的中点，则，， 在等腰中，，，在中， ，在中， ，
2）连接 ，由，知：.又，
又由，.又，又是的中点为二面角的平面角，在等腰中，，，在中， ，在中，
解法二：在平面中，过点，作交于，取为坐标原点，分别以，,所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系 （如图所示）则为中点，设 .
即，. 所以存在点使得且。
2）记平面的法向量为，则由，，且，得， 故可取
又平面的法向量为 ..
二面角的平面角是锐角，记为，则。
6．如图，在四棱锥p—abcd中，底面abcd为矩形，侧棱pa⊥底面abcd，ab=，bc=1，pa=2，e为pd的中点。
ⅰ）求直线ac与pb所成角的余弦值；
ⅱ）在侧面pab内找一点n，使ne⊥面pac，并求出n点到ab和ap的距离。
解法1：（ⅰ建立如图所示的空间直角坐标系，则a、b、c、d、p、e的坐标为a（0，0，0）、b（，0，0）、c（，1，0）、d（0，1，0）、
p（0，0，2）、e（0，，1），从而设的夹角为θ，则∴ac与pb所成角的余弦值为。
ⅱ）由于n点在侧面pab内，故可设n点坐标为（x，o，z），则，由ne⊥面pac可得， ∴即n点的坐标为，从而n点到ab、ap的距离分别为1，.
解法2：（ⅰ设ac∩bd=o，连oe，则oe//pb，∴∠eoa即为ac与pb所成的角或其补角。在△aoe中，ao=1，oe=∴即ac与pb所成角的余弦值为。
2）在面abcd内过d作ac的垂线交ab于f，则。连pf，则在rt△adf中设n为pf的中点，连ne，则ne//df，∵df⊥ac，df⊥pa，∴df⊥面pac，从而ne⊥面pac.∴n点到ab的距离，n点到ap的距离。
7．如图，在六面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，．（求证：与共面，与共面；（ⅱ求证：平面平面；（ⅲ求二面角的大小的余弦值．
解法1（向量法）：
以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，则有．（ⅰ证明：．．与平行，与平行，于是与共面，与共面．（ⅱ证明：，，与是平面内的两条相交直线．
平面．又平面过．平面平面．（ⅲ解：．设为平面的法向量，，．于是，取，则，．
设为平面的法向量，，．于是，取，则，．．二面角的大小为．
解法2（综合法）：
1）证明：平面，平面．，，平面平面．于是，．设分别为的中点，连结，有．，于是．由，得，故，与共面．
过点作平面于点，则，连结，于是，，．
．所以点在上，故与共面．
ⅱ）证明：平面，，又（正方形的对角线互相垂直），与是平面内的两条相交直线，平面．又平面过，平面平面．
ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，根据三垂线定理，有．
过点在平面内作于，连结，则平面，于是，所以，是二面角的一个平面角．根据勾股定理，有．，有，，，二面角的大小为．
8．在四棱锥p-abcd中，pd⊥底面abcd, ab∥cd,pd=cd=ad=ab=a,adc=120°,点e为ab的中点。 (i)证明：ad⊥面pdb;(ii)求二面角d-pc-e的大小；(iii)求点b到面pec的距离。
i)∵∠adc=120°，ab∥cd，∴∠dab=60°，又ad=ab=a， ∴bd=，∴ad⊥bd，又∵pd⊥面abcd，∴pd⊥ad， 而pdbd=d，∴ad⊥面pdb. 4分。
ii) 如图，以d为坐标原点，da为x轴，db为y轴，dp为z轴建立直角坐标系，则d(0,0,0)，p(0,0,a)，a(a,0,0)，e(,,0)，c(,,0)， b(0, ,0)，设平面pdc的法向量为，则，即，∴.同理求得平面pec的一个法向量为，∴，二面角d-pc-e的大小为。 10分。
iii)由(ii)知，面pec的一个法向量，于是点b到面pec的距离。 14分。
9.如图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间．点a、d∈α，c、f∈γ，ac∩β＝b，df∩β＝e.(1)求证：
=2)设af交β于m，ad与cf不平行，与β间距离为h′，α与γ间距离为h，当的值是多少时，s△bem的面积最大？
10.(2008海南、宁夏理)如图，已知点p在正方体abcd－a1b1c1d1的对角线bd1上，∠pda=60°。
1）求dp与cc1所成角的大小；（2）求dp与平面aa1d1d所成角的大小。
9.解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．
则，．连结，．
在平面中，延长交于．设，由已知，由。
可得．解得，所以．
ⅰ）因为，所以．即与所成的角为．
ⅱ）平面的一个法向量是．
因为，所以．
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