1.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为___
答案解析由三视图可知，该几何体为如图所示的多面体abcdef(置于长方体abcd—mnfg中去观察)，且点e为dg的中点，可得ab＝bc＝ge＝de＝3，连接ag，所以多面体abcdef的体积为v多面体abcdef＝v三棱柱adg—bcf－v三棱锥a—gef＝×(3＋3)×3×3－×(3×3)×3＝.
2. 已知三棱锥s－abc的所有顶点都在球o的球面上，sa⊥平面abc，sa＝2，ab＝1，ac＝2，∠bac＝60°，则球o的表面积为( )
a．4π b．12π c．16π d．64π
解析 (1)在△abc中，bc2＝ab2＋ac2－2ab·accos 60°＝3，∴ac2＝ab2＋bc2，即ab⊥bc，又sa⊥平面abc，∴三棱锥s－abc可补成分别以ab＝1，bc＝，sa＝2为长、宽、高的长方体，球o的直径＝＝4，故球o的表面积为4π×22＝16π.
3.如图，侧棱长为2的正三棱锥v－abc中，∠**b＝∠bvc＝∠cva＝40°，过点a作截面△aef，则截面△aef的周长的最小值为。
答案 6 解析沿着侧棱va把正三棱锥v－abc展开在一个平面内，如图，则aa′即为截面△aef周长的最小值，且∠**a′＝3×40°＝120°.
在△vaa′中，由余弦定理可得aa′＝6，故答案为6.
4. 设m，n是两条不同的直线，α，是两个不同的平面，给出下列四个命题：
若m∥n，m⊥β，则n⊥β；若m∥α，m∥β，则α∥β
若m∥n，m∥β，则n∥β；若m∥α，m⊥β，则α⊥β
其中真命题的个数为( )
a．1 b．2 c．3 d．4
答案 b 解析 ①因为“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”，所以①正确；②当m平行于两个相交平面α，β的交线l时，也有m∥α，m∥β，所以②错误；③若m∥n，m∥β，则n∥β或nβ，所以③错误；④平面α，β与直线m的关系如图所示，必有α⊥β故④正确．
5. 如图，在三棱柱abc－a1b1c1中，侧棱aa1⊥底面abc，底面是以∠abc为直角的等腰直角三角形，ac＝2a，bb1＝3a，点d是a1c1的中点，点f**段aa1上，当af＝__时，cf⊥平面b1df.
答案 a或2a解析由题意易知，b1d⊥平面acc1a1，所以b1d⊥cf.
要使cf⊥平面b1df，只需cf⊥df即可．令cf⊥df，设af＝x，则a1f＝3a－x.易知rt△caf∽rt△fa1d，得＝，即＝，整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.
6.在空间直角坐标系oxyz中，已知a(2,0,0)，b(2,2,0)，c(0,2,0)，d(1,1，)．若s1，s2，s3分别是三棱锥d－abc在xoy，yoz，zox坐标平面上的正投影图形的面积，则( )
a．s1＝s2＝s3 b．s2＝s1且s2≠s3 c．s3＝s1且s3≠s2 d．s3＝s2且s3≠s1
答案 d解析如图所示，△abc为三棱锥在坐标平面xoy上的正投影，所以s1＝×2×2＝2.三棱锥在坐标平面yoz上的正投影与△def(e，f分别为oa，bc的中点)全等，所以s2＝×2×＝.
三棱锥在坐标平面xoz上的正投影与△dgh(g，h分别为ab，oc的中点)全等，所以s3＝×2×＝.所以s2＝s3且s1≠s3.故选d.
解答题：1. 如图1，在正△abc中，e，f分别是ab，ac边上的点，且be＝af＝2cf.
点p为边bc上的点，将△aef沿ef折起到△a1ef的位置，使平面a1ef⊥平面befc，连接a1b，a1p，ep，如图2所示．
1)求证：a1e⊥fp；
2)若bp＝be，点k为棱a1f的中点，则在平面a1fp上是否存在过点k的直线与平面a1be平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
押题依据以平面图形的翻折为背景，探索空间直角与平面位置关系的考题创新性强，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题形式．
1)证明在正△abc中，取be的中点d，连接df，如图1.
因为be＝af＝2cf，所以af＝ad，ae＝de，而∠a＝60°，所以△adf为正三角形．又ae＝de，所以ef⊥ad.所以在图2中a1e⊥ef，be⊥ef.
故∠a1eb为二面角a1—ef—b的一个平面角．
因为平面a1ef⊥平面befc，所以∠a1eb＝90°，即a1e⊥eb.
因为ef∩eb＝e，所以a1e⊥平面befc.因为fp平面befc，所以a1e⊥fp.
2)解在平面a1fp上存在过点k的直线与平面a1be平行．
理由如下：如图1，在正△abc中，因为bp＝be，be＝af，所以bp＝af，所以fp∥ab，所以fp∥be.
如图2，取a1p的中点m，连接mk，因为点k为棱a1f的中点，所以mk∥fp.因为fp∥be，所以mk∥be.
因为mk平面a1be，be平面a1be，所以mk∥平面a1be.
故在平面a1fp上存在过点k的直线mk与平面a1be平行．
2. 如图，在四棱锥p－abcd中，已知pa⊥平面abcd，且四边形abcd为直角梯形，∠abc＝∠bad＝，pa＝ad＝2，ab＝bc＝1.
1)求平面pab与平面pcd所成二面角的余弦值；
2)点q是线段bp上的动点，当直线cq与dp所成的角最小时，求线段bq的长．
解以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则各点的坐标为b(1,0,0)，c(1,1,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)．
1)因为ad⊥平面pab，所以是平面pab的一个法向量，＝(0,2,0)．
因为＝(1,1，－2)，＝0,2，－2)．设平面pcd的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0，即令y＝1，解得z＝1，x＝1.
所以m＝(1,1,1)是平面pcd的一个法向量．从而cos〈，m〉＝＝所以平面pab与平面pcd所成二面角的余弦值为。
2)因为＝(－1,0,2)，设＝λ＝0,2λ)(0≤λ≤1)，又＝(0，－1,0)，则＝＋＝1,2λ)，又＝(0，－2,2)，从而cos〈，〉设1＋2λ＝t，t∈[1,3]，则cos2〈，〉
当且仅当t＝，即λ＝时，|cos〈，〉的最大值为。
因为y＝cos x在上是减函数，此时直线cq与dp所成角取得最小值．
又因为bp＝＝，所以bq＝bp＝.
3. 如图，已知矩形abcd所在平面垂直于直角梯形abpe所在平面于直线ab，且ab＝bp＝2，ad＝ae＝1，ae⊥ab，且ae∥bp.
1)设点m为棱pd的中点，求证：em∥平面abcd；
2)线段pd上是否存在一点n，使得直线bn与平面pcd所成角的正弦值等于？若存在，试确定点n的位置；若不存在，请说明理由．
1)证明由已知，平面abcd⊥平面abpe，且bc⊥ab，则bc⊥平面abpe，所以ba，bp，bc两两垂直，故以点b为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则p(0,2,0)，d(2,0,1)，m，e(2,1,0)，c(0,0,1)，所以＝.易知平面abcd的一个法向量n＝(0,1,0)，所以·n＝(－1,0，)(0,1,0)＝0，所以⊥n，又em平面abcd，所以em∥平面abcd.
2)当点n与点d重合时，直线bn与平面pcd所成角的正弦值为。
理由如下：＝(2，－2,1)，＝2,0,0)，设平面pcd的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由得取y1＝1，得平面pcd的一个法向量等于n1＝(0,1,2)，假设线段pd上存在一点n，使得直线bn与平面pcd所成的角α的正弦值等于。
设＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ(2，－2,1)＝(2λ，－2λ，λ2λ，2－2λ，λ
所以sin α＝cos〈，n1〉|＝
所以9λ2－8λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－舍去)．
因此，线段pd上存在一点n，当n点与d点重合时，直线bn与平面pcd所成角的正弦值等于。
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