2011届高考专题复习空间向量与立体几何。
一、近年考情分析与2024年广东命题走势。
纵观07-10广东试题，我们可以发现，此部分内容涉及试题数及分值为：
立体几何的复习要牢固树立以下的思维脉络：证线面垂直(或平行)，转化为证线线垂直(或平行)；证面面垂直(或平行)，转化为证线面垂直(或平行)或证线线垂直(或平行)．
二、广东考题剖析及热点题型讲析。
热点1 空间几何体的结构、三视图、直观图。
1．（08年广东5）将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ a ）
2．（10年广东6）如图1,△abc为正三角形，aa＇//bb＇//cc＇,cc＇⊥平面abc且3aa＇=bb＇=cc＇=ab,则多面体abc-a＇b＇c＇的正视图(也称主视图)是 ( d )
3.【2010·陕西文数】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
a.2 b.1 c. d.
答案】b 本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱，所以其体积为。
4.【2010·全国卷2理数】已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）
a.1 b. c.2 d.3
答案】c解析】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题。设底面边长为a，则高所以体积，设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选c.
5．如下图所示，四边形oabc是上底为2下底为6，底角为45度的等腰梯形，由斜二侧画法，画出这个梯形的直观图o’a’b’c’，在直观图中梯形的高为（ c ）
a、 b、1 c、 d、
6.（全国ⅰ新卷理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为。
abcd)
答案】b 解析：如图，p为三棱柱底面中心，o为球心，易知。
所以球的半径满足：
故．热点2 点线面的位置关系。
空间点、线、面位置关系是立体几何中的重要关系，在高考中，选择题、填空题几乎年年考，且常以棱柱、棱锥、和正方体为背景，主要考查平面的基本性质、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查对图形的识别、理解和加工能力。
1.（2009·广东5）给定下列四个命题：
若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
垂直于同一直线的两条直线相互平行；
若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( d )
．①和和和和④
2.（2024年·12）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有___条，这些直线中共有对异面直线，则；f(n)=_答案用数字或n的解析式表示)
答案：;8;n(n-2)。
3.【2010·浙江理数】设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
a.若，，则 b.若，，则。
c.若，，则 d.若，，则。
答案】b4．【2010·宁波市二模】已知表示两个互相垂直的平面，表示一对异面直线，则的一个充分条件是（ ）
a. b. c. d.
答案】d 依题意，a⊥α 则a平行β或在β内，由于b⊥β，则，选择d.
5.（上海春15）若空间三条直线a、b、c满足，则直线a与c
a）一定平行b）一定相交；
c）一定是异面直线d）平行、相交、是异面直线都有可能。
答案：d解析：由直线的位置关系可知可能平行，可以相交，也可以异面，故选d。
6.（江西卷11）如图，m是正方体的棱的中点，给出下列命题。
过m点有且只有一条直线与直线、都相交；
过m点有且只有一条直线与直线、都垂直；
过m点有且只有一个平面与直线、都相交；
过m点有且只有一个平面与直线、都平行。
其中真命题是：
a． b． c． d．
答案】c解析】考查立体几何图形中相交平行垂直性质。
7.（北京卷16）如图，正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直。
ef//ac，ab=,ce=ef=1
ⅰ）求证：af//平面bde；
ⅱ）求证：cf⊥平面bdf;
空间中的角和距离。
空间角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角，对这三种角，主要理解它们的概念和范围，在论证的基础上转化为平面角来表示，再用解三角形的方法来解，也可以通过建立坐标系后利用空间向量方法求解。
用空间向量解决立体几何问题的必备知识：
1)设直线ab是平面α的斜线，向量n为平面α的一个法向量，则直线ab与平面α所成角的正弦值等于|cos〈，n〉|＝
2)设二面角的两个半平面α，β的一个法向量分别是n1，n2，则二面角的余弦的绝对值等于|cos〈n1，n2〉|＝具体符号是正是负看二面角的大小．
3)设ab，cd是两条异面直线，则它们所成角的余弦值等于|cos〈，〉
4)设a是平面α外一点，o是平面α内任意一点，n为平面α的一个法向量，则点a到平面α的距离是：d＝；
5)设ab，cd是两条异面直线，且n⊥，n⊥，则这两条异面直线之间的距离是：d＝＝；
6)设p为直线ab外一点，则点p到直线ab的距离是：d＝.
1.（2010·广东卷理10）若向量=（1,1,x）, 1,2,1), 1,1,1)满足条件(－)2)=-2,则。
解析】，，解得．
2. 如图，正方体abcd—中，e、f分别是ab、cc1的中点，则异面直线a1c与ef所成角的余弦值为（ b ）
abcd.
3. 如图，长方体abcd—中，ac与bd的交点为m，设。
则下列向量中与相等的向量是（ a ）
ab. cd.
4.【2010·全国卷1文数】正方体-中，与平面所成角的余弦值为（ ）
a. b. c. d.
答案】d1（2007·广东19）（本小题满分14分）如图6所示，等腰三角形△abc的底边ab=，高cd=3，点e是线段bd上异于b、d的动点，点f在bc边上，且ef⊥ab，现沿ef将△bef折起到△pef的位置，使pe⊥ae，记be=x，v（x）表示四棱锥p-acef的体积。
（1）求v(x)的表达式；
（2）当x为何值时，v(x)取得最大值？
（3）当v（x）取得最大值时，求异面直线ac与pf所成角的余弦值。
19:解（1）由折起的过程可知，pe⊥平面abc，，
v(x)=（
2），所以时， ，v(x)单调递增；时，v(x)单调递减；因此x=6时，v(x)取得最大值；
3）过f作mf//ac交ad与m,则，pm=，在△pfm中，，∴异面直线ac与pf所成角的余弦值为；
2（2008·广东卷20）（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．
1）求与平面所成角的正弦值；
2）证明：是直角三角形；
3）当时，求的面积．
解：（1）在中，
而pd垂直底面abcd，
在中，,即为以为直角的直角三角形。
设点到面的距离为，由有，即，;
2),而，即，，,是直角三角形；
3）时， ,即，的面积。
3（2009·广东卷理18）（本小题满分１４分）如图６，已知正方体的棱长为２，点ｅ是正方形的中心，点ｆ、ｇ分别是棱的中点．设点分别是点ｅ，ｇ在平面内的正投影．
１）求以ｅ为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；
２）证明：直线；
３）求异面直线所成角的正弦值。
解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、则所求为四棱锥的体积，其底面面积为，又面，，∴
2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，，即，又，∴平面。
3），，则，设异面直线所成角为，则。
4（2010·广东卷理18）（本小题满分14分）
如图5，是半径为a的半圆，ac为直径，点e为的中点，点b和点c为线段ad的三等分点，平面aec外一点f满足fb=fd=a，fe=a.
1) 证明：ebfd；
2) 已知点q，r分别为线段fe，fb上的点，使得fq=fe，fr=fb，求平面bed与平面rqd所成的二面角的正弦值。
1）证明： 连结，因为是半径为的半圆，为直径，点为的中点，所以。
在中，。在中，，为等腰三角形，且点是底边的中点，故。
在中，，所以为，且。
因为，，且，所以平面，而平面，。
因为，，且，所以平面，而平面，。
2）设平面与平面rqd的交线为。
由，，知。而平面，∴平面，而平面平面=，.
由（1）知， 平面，∴平面，而平面，∴，是平面与平面所成二面角的。
平面角．在中，．
在中，由知，由余弦定理得，
由正弦定理得，，即，故平面与平面所成二面角的正弦值为。
5.（福建卷理18）如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆的直径。
空间向量立体几何含答案
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专题空间向量与立体几何
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