第11讲空间几何体
云览高考]说明：a表示简单题，b表示中等题，c表示难题．
频率为分析2012各省市课标卷情况．
二轮复习建议。
命题角度：该部分的命题通常围绕三个点展开．第一点是围绕空间几何体的三视图，设计由空间几何体的三视图判断空间几何体的形状，由其中的一个或者两个视图判断另外的视图等问题，其目的是考查对三视图的理解和空间想象能力；第二点是围绕空间几何体的表面积和体积展开，设计根据已知的空间几何体求空间几何体的表面积或体积的问题，其中空间几何体一般以三视图的形式给出，目的是考查空间想象能力和基本的运算求解能力；第三点是围绕多面体和球展开，设计求多面体的外接球的表面积、体积或者计算球的内接多面体的相关元素等问题，目的是考查空间想象能力、逻辑推理能力和基本的运算求解能力．试题难度大多属于a，b级，个别试题的难度属于c级．
预计2024年，该部分的考查大致方向还是如此，即以考查空间几何体的三视图、表面积和体积计算的可能性较大，也不排除考查多面体与球的可能．
复习建议：该部分的核心是识图，根据图形(三视图、直观图)想象空间几何体的具体形状和其中涉及的线面位置关系和其中数量关系，因此复习该部分时要充分重视识图和画图的训练，注重空间想象能力的培养，在此基础上注意解决问题的方法的总结(如三棱锥体积计算方法)．
主干知识整合。
要点热点**。
**点一空间几何体的三视图与直观图。
例1 (1)如图4－11－1是底面为正方形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是图4－11－2中的( d )
图4－11－1
图4－11－2
2)如图4－11－3是一正方体被过棱的中点m，n和顶点a，d，c1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为( b )
图4－11－3
图4－11－4
**点二空间几何体的表面积与体积。
例2 (1)[2012·课程标准卷] 如图4－11－5，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( b )
图4－11－5
a．6 b．9 c．12 d．18
2)已知梯形abcd中，ab∥cd，∠b＝，dc＝2ab＝2bc＝2，以直线ad为旋转轴旋转一周得到几何体的表面积为( a )
a．4π b.π c．3π d．2π
点评] 高考试题中求体积和表面积的试题往往与空间几何体的三视图结合，首先要根据空间几何体的三视图还原空间几何体，弄清楚空间几何体的结构再进行计算．体积的计算需要空间几何体的底面积和高，多面体表面积的计算需要把各个面的结构弄清楚，分别计算各个面的面积，求和得表面积．在计算面积时要分清楚是表面积(全面积)，还是侧面积(下面的变式2)．
变式题 (1)一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二测画法画出正视图和侧视图都是边长为6和4的平行四边形，则该几何体的体积为___
2)已知圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为___
答案] (1) 48π或72π (2)π
**点三球与多面体。
例3 [2012·课程标准卷] 已知三棱锥s－abc的所有顶点都在球o的球面上，△abc是边长为1的正三角形，sc为球o的直径，且sc＝2，则此棱锥的体积为( a )
a. b. c. d.
点评] 球中内接一个多面体是课程标准卷的一个重要命题点．如果一个三棱锥内接于一个球，那么它的各个面的三角形都是圆的内接三角形，球心到各个顶点的距离都等于球的半径，可以类似本题求解球心到各个面的距离．
变式题如图4－11－8，平面四边形abcd中，ab＝ad＝cd＝1，bd＝，bd⊥cd，将其沿对角线bd折成四面体a′－bcd，使平面a′bd⊥平面bcd，若四面体a′－bcd顶点在同一个球面上，则该球的体积为( a )
图4－11－8
a.π b．3π c.π d．2π
规律技巧提炼。
规律空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．
技巧解决组合体体积的基本方法就是“分解”，将组合体分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积，然后根据组合体的结构，将整个的体积转化为这些“部分体积”的和或差．
易错棱锥、球的体积公式容易忽视公式系数。
命题立意追溯。
空间想象能力——认识三视图与直观图中的图形几何元素之间的关系。
示例 [2012·辽宁卷] 一个几何体的三视图如图4－11－9所示，则该几何体的表面积为___38
图4－11－9
命题阐释] 本题立意是通过空间几何体的三视图考查空间想象能力．题目中的视图中标注的数字反映了空间几何体的几何元素的数量，解题中就是要把这种数量关系找出，重点需要空间想象能力．
[跟踪练]1．图4－11－10是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是。
图4－11－10
2、某几何体的三视图如图4－11－11所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为( a )
图4－11－11
a.π b.π c.π d.π
教师备用例题。
选题理由：例1为三棱锥的等积转化，例2为补形法求解体积，例3为球的内接三棱锥，也可以使用补形方法求解．在正文中限于篇幅我们没有列入这些问题，这三个题目可以作为**点。
二、三的补充．
例1 [2012·山东卷] 如图所示，正方体abcd－a1b1c1d1的棱长为1，e，f分别为线段 aa1，b1c上的点，则三棱锥d1－edf的体积为。
例2 [2012·湖北卷] 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( b )
a. b．3π c. d．6π
例3 [2012·辽宁卷] 已知正三棱锥p－abc，点p，a，b，c都在半径为的球面上．若pa，pb，pc两两相互垂直，则球心到截面abc的距离为。
第12讲点、直线、平面之间的位置关系。
云览高考]说明：a表示简单题，b表示中等题，c表示难题．频率为分析2012各省市课标卷情况．
二轮复习建议。
命题角度：该部分的命题主要在三个点展开．第一点是围绕空间点、直线、平面的位置关系展开，设计位置关系的判断、简单的角与距离计算等问题，目的是考查对该部分基础知识的掌握情况及空间想象能力，这类试题多为选择题或者填空题；第二点是围绕空间平行关系和垂直关系的证明，设计通过具体的空间几何体证明其中的平行关系、垂直关系的问题，目的是考查运用空间位置关系的相关定理、推理论证的能力及空间想象能力，这类试题多数是解答题组成部分；第三个点是围绕空间角与距离展开(特别是围绕空间角)，设计求解空间角的大小、根据空间角的大小求解其他几何元素等问题，目的是综合考查利用空间线面位置关系的知识综合解决问题的能力，这类试题多数是解答题的重要组成部分．
预计2024年在该部分的命题方向不会改变，仍然会以解答题的方式考查空间平行关系、垂直关系的证明，空间角的求解等．
复习建议：该部分是立体几何的核心，整个立体几何的理论部分都在这里，涉及众多的基本原理、概念、定理和法则，复习该部分时首先要把该部分的主干知识进一步系统化，在此基础上引导学生掌握使用综合几何方法证明空间平行关系、垂直关系的基本方法，掌握使用综合几何方法求空间角的方法，理科虽然有空间向量这个工具，可综合几何法在运算方面的优势也是非常明显的，要克服一味地依赖空间向量法求解立体几何问题．
主干知识整合。
1.空间角的求法。
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