时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知正方体abcd－a1b1c1d1的中心为o，则下列各命题中的真命题有( )
＋与＋是一对相反向量。
－与－是一对相反向量。
＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量。
－与－是一对相反向量。
a．1个b．2个。
c．3个d．4个。
2．若a、b、c是非零空间向量，则下列命题中的真命题是( )
a．(a·b)c＝(b·c)a
b．a·b＝－|a|·|b|，则a∥b
c．a·c＝b·c，则a∥b
d．a·a＝b·b，则a＝b
3．四棱锥p－abcd中，底面abcd是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝4,2,0)，＝1,2，－1)，则pa与底面abcd的关系是( )
a．相交b．垂直。
c．不垂直d．成60°角。
4．已知点a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，若存在点d, 使得db∥ac，dc∥ab，则点d的坐标为( )
a．(－1,1,1b．(－1,1,1)或(1，－1，－1)
cd．(－或(1，－1,1)
5．下面命题中，正确命题的个数为( )
若n1、n2分别是平面α、β的法向量，则n1∥n2α∥β
若n1、n2分别是平面α、β的法向量，则α⊥βn1·n2＝0；
若n是平面α的法向量，b、c是α内两不共线向量a＝λb＋μc，(λr)则n·a＝0；
若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直。
a．1个b．2个。
c．3个d．4个。
6．已知abcd是四面体，o是△bcd内一点，则＝(＋是o为△bcd重心的( )
a．充分不必要条件b．必要不充分条件。
c．充要条件d．既非充分也非必要条件。
7．同时垂直于a＝(2,2,1)，b＝(4,5,3)的单位向量是( )
ab. cd.或。
8．如图所示，正方体abcd－a1b1c1d1中，e、f分别在a1d，ac上，且a1e＝a1d，af＝ac，则( )
a．ef至多与a1d，ac之一垂直。
b．ef是a1d，ac的公垂线。
c．ef与bd1相交。
d．ef与bd1异面。
9．已知正方体abcd－a′b′c′d′中，点f是侧面cdd′c′的中心，若＝＋x＋y，则x－y等于( )
a．0b．1
cd．－10．已知a(4,1,3)，b(2，－5,1)，c是线段ab上一点，且＝，则c点的坐标为( )
ab. cd.
11．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是( )
a．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
b．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
c．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
d．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
12．a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是( )
ab. cd.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．|a|＝|b|＝|c|＝1，a＋b＋c＝0，则a·c＋b·c＋a·b
14．已知a、b、c三点共线，则对空间任一点o，存在三个不为零的实数λ、m、n使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值等于___
15．在平面直角坐标系中，a(－2,3)，b(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则ab的长度为___
16．三棱锥p－abc中，pa＝pb＝pc＝ab＝ac＝1，∠bac＝90°，则直线pa与底面abc所成角的大小为___
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知斜三棱柱abc－a′b′c′，设＝a，＝b，＝c，在面对角线ac′和棱bc上分别取点m、n，使＝k，＝k (0≤k≤1)，求证：三向量、a、c共面．
18．(本小题满分12分)如图所示，在棱长为1的正方体ac1中，m、n、e、f分别是a1b1、a1d1、b1c1、c1d1的中点，求证：平面amn∥平面efdb.
19．(本小题满分12分)在直三棱柱abc－a1b1c1中，ac＝3，bc＝4，ab＝5，aa1＝4，点d是ab的中点．
1)求证：ac⊥bc1.
2)求证：ac1∥平面cdb1
3)求ac1与bc1所成角的余弦值．
20．(本小题满分12分)长方体abcd－a1b1c1d1中，ab＝4，ad＝6，aa1＝4，m是a1c1的中点，p**段bc上，且cp＝2，q是dd1的中点，求：
1)m到直线pq的距离；
2)m到平面ab1p的距离．
21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥p－abcd中，已知pa⊥平面abcd，pb与平面abc成60°的角，底面abcd是直角梯形，∠abc＝∠bad＝90°，ab＝bc＝ad.
1)求证：平面pcd⊥平面pac；
2)设e是棱pd上一点，且pe＝pd，求异面直线ae与pb所成的角．
22．(本小题满分14分)(09·山东理)如图，在直四棱柱abcd－a1b1c1d1中，底面abcd为等腰梯形，ab∥cd，ab＝4，bc＝cd＝2，aa1＝2，e，e1，f分别是棱ad，aa1，ab的中点．
1)证明：直线ee1∥平面fcc1；
2)求二面角b－fc1－c的余弦值．
参***。一、
1、[答案] c
解析] ①四边形adc1b1为平行四边形，o为对角线交点．∴＋与＋是一对相反向量，故①真；
－＝－假；设正方形abcd中心为o1，正方形a1b1c1d1中心为o2，则＋＋＋4，＋＋4，与是相反向量，∴③真；
－＝，与是相反向量，∴④真．
2、[答案] b
解析] (a·b)c是与c共线的向量，(b·c)a是与a共线的向量，a与c不一定共线，故a假；
若a·b＝－|a|·|b|，则a与b方向相反，a∥b，故b真；
若a·c＝b·c，则(a－b)·c＝0，即(a－b)⊥c，不能得出a∥b，故c假；
若a·a＝b·b，则|a|＝|b|，方向不确定，故得不出a＝b，∴d假．
3、[答案] b
解析] ∵0，·＝0，⊥平面abcd.
4、[答案] a
解析] 设d(x，y，z)，∵db∥ac，dc∥ab，四边形abdc为平行四边形．
从而＝，即(－1,0,1)＝(x，y－1，z)，.
5、[答案] d
6、[答案] c
解析] 设e为cd中点，(＋
＋，＝即o为△bcd的重心．反之也成立．
7、[答案] d
解析] 设所求向量为c＝(x，y，z)，则，检验知选d.
点评] 检验时，先检验a(或b)，若a不满足，则排除a、d；再检验b，若a满足，则排除b，c，只要看d是否成立．
8、[答案] b
解析] 以da、dc、dd1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ab＝1，则a1(1,0,1)，d(0,0,0)，a(1,0,0)，c(0,1,0)，e，f，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，＝1,0，－1)，＝1，1,0)，，1，－1,1)，－0，从而ef∥bd1，ef⊥a1d，ef⊥ac.
9、[答案] a
解析] 如图所示，＝＋x＋y，＝x＋y，＝＋x＝y＝，x－y＝0.
10、[答案] c
解析] 由题意知，2＝，设c(x，y，z)，则2(x－4，y－1，z－3)＝(2－x，－5－y,1－z)，，即c.
11、[答案] d
解析] ∵l∥α，a·n＝0，经检验知选d.
12、[答案] c
解析] b－a＝(1＋t,2t－1,0)，|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＝5t2－2t＋2
52＋≥，b－a|min＝.
二、13、[答案] －
解析] 设a·c＋b·c＋a·b＝x，则2x＝(a＋b)·c＋(b＋c)·a＋(c＋a)b
－|c|2－|a|2－|b|2＝－3，x＝－.
14、[答案] 0
解析] 由λ＋m＋n＝0得，－－
根据空间直线的向量参数方程有，－－1－m－n＝λm＋n＋λ＝0.
点评] a、b、c是空间不同三点，o为空间任一点，设＝x＋y，则a、b、c共线x＋y＝1.
15、[答案] 2
解析] 如图作am⊥x轴，bn⊥x轴，垂足为m、n，由题设易知，||3，||2.，〉120°，|5，由条件||2＝(＋2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
9＋25＋4＋2||·cos〈，〉44，||2.
16、[答案] 45°
解析] 由条件知，ab＝ac＝1，∠bac＝90°，∴bc＝，pb＝pc＝1，∴∠bpc＝90°，取bc边中点e，则。
pe＝，ae＝，又pa＝1，∴∠pea＝90°，故∠pae＝45°，e为bc中点，∴pe⊥bc，ae⊥bc，bc⊥平面pae，平面pae⊥平面abc，∠pae为直线pa与平面abc所成角．
三、17、[解析] ＝k
＋k(－)a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb，k＝k(＋)kb＋kc，－＝1－k)a－kc.
向量a和c不共线，∴、a、c共面．
18、[解析] 解法一：∵＝an∥be.
＝，∴nm∥ef，又∵an∩mn＝n，an、mn平面amn，be∩ef＝e，be，ef平面efdb，平面amn∥平面amn，be∩ef＝e，be、ef平面efdb.
解法二：以d为原点，分别以da，dc，dd1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则d(0,0,0)，a(1,0,0)，m(1，，1)，n(，0,1)，b(1,1,0)，f(0，，1)
设平面amn与平面efbd的法向量分别为n1＝(x，y，z)和n2＝(x2，y2，z2)．
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