用空间向量法求解立体几何问题
以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。
预备知识。向量的直角坐标在空间直角坐标系o--xyz中，对空间任一点a,对应一个向量oa，存在唯一的有序实数组x,y,z，使 oa=xi+yj+zk
在单位正交基底i, j, k中与向量oa对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点a在此空间直角坐标系中的坐标，记作a(x,y,z)，其中x叫做点a的横坐标，y叫做点a的纵坐标，z叫做点a的竖坐标。
设a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2), ab=ob-oa=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1) =x2-x1,y2-y1,z2-z1).
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。
eg 如图在边长为2的正方体abcd-a1b1c1d1中，取d点为原点建立空间直角坐标系，o、m、p、q分别是ac、 dd1、cc1、a1b1的中点，写出下列向量的坐标。
空间向量运算公式。
利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法。
一：利用空间向量解证平行、垂直关系。
1.①所谓直线的方向向量，就是指的向量，一条直线的方向向量有个。
所谓平面的法向量，就是指所在直线与平面垂直的直线，一个平面的法向量也有个。
2．线线平行。
证明两条直线平等，只要证明这两条直线的方向向量是也可以证这两条直线平行于同一个平面的法向量。
3线面平行证明方法：
1）证明直线的方向向量与平面的法向量。
2）证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量。
4．面面平行的证明方法：
1）转化为处理；（2）证明这两个平面的法向量是 。
5利用空间向量解证垂直关系。
．线线垂直：证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是 ；
．线面垂直的证明方法：
证明线面垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是。
证明直线与平面内的。
．面面垂直的证明方法：
转化为证明证明这两个平面的法向量是 。
eg1. 如图， 在直三棱柱abc－a1b1c1中，ac＝3，bc＝4，aa1＝4，点d是ab的中点，
（i）求证：ac⊥bc1； （求证：ac 1//平面cdb1；
强化巩固训练。
1.正方体中，是的中点，是底面的中心，是棱上任意一点，则直线与直线所成的角是( )a b c d与点的位置有关。
2. 空间中有四点，其中，，且，则直线和( )a平行b平行或重合c必定相交d必定垂直。
3以下向量中与向量＝（1,2,3），＝3,1,2）都垂直的向量为（ ）
a.(1,7,5) b.(1,－7,5) c.(－1，－7,5) d.（1，－7，－5）
二：利用空间向量求空间角。
1)两条异面直线所成的夹角。
范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是。
向量求法：设直线的方向向量为，其夹角为，则有。
2)直线与平面所成的角。
定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。
范围：直线和平面所夹角的取值范围是。
向量求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与法向量所成角的余弦值为直线与平面所成的角为，则有。
或在平面内任取一个向量，则。
3)二面角二面角的取值范围是。
二面角的向量求法：
1.定义法：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的即为所求的二面角的大小；
2.三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；
3.法向量：设，分别是两个面的则向量与的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。
题型1：异面直线所成的角。
例1、已知正方体abcd－a1b1c1d1的棱长为2，点e为棱ab的中点。
求：d1e与平面bc1d所成角的大小（用余弦值表示）
题型2：直线与平面所成的角。
例2、如图，直三棱柱abc—a1b1c1中，底面是等腰直角三角形，∠acb＝90，侧棱aa1＝2，d、e分别是cc1与a1b的中点，点e在平面abd上的射影是△abd的重心g。求a1b与平面abd所成角的大小（结果用余弦值表示）；
题型3：二面角。
例3、在四棱锥p－abcd中，abcd为正方形，pa⊥平面abcd，pa＝ab＝a，e为bc中点。
1）求平面pde与平面pab所成二面角的大小（用正切值表示）；
2）求平面pba与平面pdc所成二面角的大小。
强化巩固训练。
1、如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱d是cb延长线上一点，且求二面角的大小。
2.如图所示：边长为2的正方形abfc和高为2的直角梯形adef所在的平面互相垂直且de=，ed//af且∠daf=90°。
（1）求bd和面bef所成的角的余弦；
（2）线段ef上是否存在点p使过p、a、c三点的平面和直线db垂直，若存在，求ep与pf的比值；若不存在，说明理由。
三：利用空间向量求空间距离。
1）点面距离的向量公式。
平面的法向量为n，点p是平面外一点，点m为平面内任意一点，则点p到平面的距离d就是即d=.
2）线面、面面距离的向量公式。
平面∥直线l，平面的法向量为n，点m∈、p∈l，平面与直线l间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d
平面∥β，平面的法向量为n，点m∈、p∈β，平面与平面β的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.
3）异面直线的距离的向量公式。
设向量n与两异面直线a、b都垂直，m∈a、p∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.
题型1：异面直线间的距离。
例1、如图2，正四棱锥的高，底边长。求异面直线和。
之间的距离？
题型2：点面距离。
例2、如图，已知ａｂｃ为边长是４的正方形，ｅ，分别是ａｂ，的中点，ｇｃ垂直于ａｂｃ所在的平面，且ｇｃ＝求点ｂ到平面ｅｆｇ的距离。
题型3：线面距离。
例3、已知正三棱柱的底面边长为8，对角线，d是ac的中点。（1）求点到。
直线ac的距离。（2）求直线到平面的距离。
例4、如图，已知边长为的正三角形中，分别为和的中点，面，且。
设平面过且与平行。 求与平面。
间的距离？强化巩固训练。
1.长方体abcd—中，ab=4，ad=6，，m是a1c1的中点，p**段bc上，且|cp|=2，q是dd1的中点，求：（1）异面直线am与pq所成角的余弦值；（2）m到直线pq的距离；（3）m到平面ab1p的距离。
空间向量与立体几何训练题。
1．已知斜三棱柱abc—a1b1c1的底△abc为直角三角形，∠c=90°；侧棱与底面成60°角，b1点在底面射影d为bc中点，若侧面a1abb1与c1cbb1成30°的二面角，bc=2cm，则四棱锥a—b1bcc1的体积是（ ）
a b. c d
2. 在空间四边形中，分别是和对角线的中点，则平面与平面的位置关系是
3.设正四棱锥s-abcd的侧棱之长为，底面边长为，e是sa的中点，则异面直线be与sc所成的角等于_ _
4. 对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|＝|a||b|sinθ(其中θ为向量a与b的夹角)，a×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系。如图，在平行六面体abcd－efgh中，∠eab＝∠ead＝∠bad＝60°，ab＝ad＝ae＝2，则＝（
a. 4 b. 8 c. d.
5.如图，四棱锥中，平面，底面是直角梯形，且，，。
1）求证：；（2）求点到平面的距离。
6. 如图，所示的多面体是由底面为abcd的长方体被截面aec1f所截面而得到的，其中ab=4，bc=2，cc1=3，be=1.
ⅰ）求bf的长；（ⅱ求点c到平面aec1f的距离。
7. 如图所示，在三棱柱abc－a1b1c1中，h是正方形aa1b1b的中心，aa1＝2，c1h⊥平面aa1b1b，且c1h＝.
1)求异面直线ac与a1b1所成角的余弦值；
2)求二面角a－a1c1－b1的正弦值；
3)设n为棱b1c1的中点，点m在平面aa1b1b内，且mn⊥平面a1b1c1，求线段bm的长．
8.[2011·四川理]如图所示，在直三棱柱abc－a1b1c1中，∠bac＝90°，ab＝ac＝aa1＝1，延长a1c1至点p，使c1p＝a1c1，连结ap交棱cc1于点d.
1)求证：pb1∥平面bda1； (2)求二面角a－a1d－b的平面角的余弦值．
9.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，为的中点。
（ⅰ）求直线与所成角的余弦值；
ⅱ）在侧面内找一点，使面，并求出点到和的距离。
10已知正方体的棱长为a．
空间立体几何与向量 学案 一
学习过程。一 复习预习。复习上节内容，并开始学习本节课程内容。1化简 所得的结果是 a.b.c.0 d.2.在平行六面体abcd 中，以图中顶点为端点构造空间向量，其中等于 的是 3.在空间四边形abcd中。4.在正方体abcd 中，化简 的结果是 5.两个向量 非零向量 的模相等，是这两个向量的 ...
空间向量与立体几何导学案
5 理解平面的法向量，能用向量语言表述线线 线面 面面的垂直 平行关系 6 能用向量方法证明有关线 面位置关系，能够用向量方法解决线线 线面 面面的夹角及其长度问题 7 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，在运用空间向量解决有关直线 平面位置关系的问题中，体会向量方法在研究几何图形的作用，进一步...
《空间向量与立体几何
高二 2 部数学 空间向量与立体几何 单元测试卷二。班级 姓名 一 选择题 每小题5分，共60分 1.如图，在平行六面体abcd a1b1c1d1中，m为ac与bd的交点。若 a，b，c，则下列向量中与相等的向量是。a.a b cb.a b c c.a b cd.a b c 2.下列等式中，使点m与...