知识点巩固】
一。空间向量及其加法、数乘运算。
1．空间中具有的量叫做向量，同向且等长的有向线段表示或
空间向量的加减与数乘运算和平面向量同类。
2．共线向量。
若表示空间向量的有向线段所在的 ，则这些向量叫做平行向量或共线向量。
共线向量定理：若，则。
3．共面向量的向量叫做共面向量。
共面向量基本定理：若两个向量不共线，则向量与共面的充要条件是存在实数，使。
4．平面向量基本定理及其推论。
定理：若三个向量不共面，则对空间中任一向量，存在唯一的有序实数组，使。
推论：设的不共面的四点，则对于空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。
5．两个向量的数量积。
定义：.其中，为向量的夹角，通常。
性质：若是两个非零向量，则(1) =其中为单位向量)
运算律：(1) (2) (3)
二．向量的坐标运算。
6．设，，则；；
夹角和距离公式：夹角。
空间两点，的距离公式为。
若表示向量的的有向线段所在的直线垂直于平面，则称为平面的。
三、空间向量在立体几何中的应用。
以下是平面的法向量。
1.直线与平面平行与垂直的判定。
2.平面与平面平行与垂直。
3.立体几何中的角。
（1） 异面直线所成的角。
2） 求线面角。
在上取定，求平面的法向量（如图2所示），再求，则为所求的角。
3)平面与平面所成的角。
图一) 或（图二）
图一图二）四、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法。
1）线线平行： 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
2）线线垂直：
证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即．
3）线面平行： 用向量证明线面平行的方法主要有：
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量；
③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．
4）线面垂直： 用向量证明线面垂直的方法主要有：
①证明直线方向向量与平面法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
5）面面平行。
①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）；
②转化为线面平行、线线平行问题．
6）面面垂直。
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题．
空间向量与立体几何复习
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