东莞十中高二理科数学《空间向量与立体几何》期末专题复习。
一、选择题（每小题5分，共50分）
1.若，，与的夹角为，则的值为。
a.17或-1b.-17或1c.-1d.1
2.设，，，则线段的中点到点的距离为。
abcd.
3．已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且a＋b与2a－b互相垂直，则的值是。
a． 1 bcd．
4.如图，abcd-a1b1c1d1为正方体，下面结论错误的是。
平面。平面cb1d1d.异面直线ad与cb1所成的角为60°
5.如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=bc=2,aa1=1,则bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为。
a. b. c. d.
6.如图，在平行六面体abcd—a1b1c1d1中，m为ac与bd的交点。若=a， =b， =c，则下列向量中与相等的向量是。
a.－a+b+c b. a+b+c c. a－b+c d.－a－b+c
7.已知空间四边形abcd的每条边和对角线的长都等于1，点e、f分别是ab、ad的中点，则等于。
abcd.
8．已知a、b、c三点不共线，对平面abc外的任一点o，下列条件中能确定点m与点a、b、c一定共面的是。
a． b．
cd． 9. 已知=(1, 5, －2)，=3, 1, z)，若⊥，=x－1, y, －3)且⊥平面abc，则=
a.(,4) b.(,3) c.(,4) d.(,3)
10. 设是的二面角内一点，平面，平面，为垂足，，则的长为（ ）
a． b． c． d．
二、填空题（每小题5分，共20分）
11.设，，且，则 .
12.已知向量，，且，则。
13.在直角坐标系中，设a（-2，3），b（3，-2），沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时，则的大小为 ．
14.如图，p—abcd是正四棱锥，是正方体，其中，则到平面pad的距离为 .
三、解答题（共80分）
15. 已知直四棱柱的底面是菱形，且，，为。
棱的中点，为线段的中点．
（ⅰ）求证：直线平面；
（ⅱ）求证：直线平面；
（ⅲ）求平面与平面所成二面角的大小。
16.已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。
1）求证： （2）求证：面面；
3）求直线与ac所成角的余弦值。
17．如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．
1)求证：平面；(2)求直线与平面所成的角的大小；
3)求二面角的大小．
18.如图，在四棱锥中，底面abcd是四边长为1的菱形，,面， ,m为oa的中点，n为bc的中点．
1）证明：直线面ocd（2）求异面直线ab与md所成角的大小；
3）求点b到平面ocd的距离．
19．如图，在长方体中，点e在棱ab上移动。
（i）证明。
（ii）若e为ab中点，求e到面的距离；
（iii）ae等于何值时，二面角的大小为。
20、如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.
ⅰ）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；
ⅱ）**段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于。并证明你的结论。
东莞十中高二理科数学《空间向量与立体几何》期末专题复习。
参***。1、选择题。
2、填空题。
三、解答题。
15. 解：设acbd=o，因为m、o分别为c1a、ca的中点，所以，mo//c1c，又由直四棱柱知c1c⊥平面abcd，所以，mo⊥平面abcd.
在菱形abcd中，bd⊥ac，所以，ob、oc、om两两垂直。故可以o为原点，ob、
oc、om所在直线分别为轴、轴、轴，如图。
建立空间直角坐标系，若设|ob|=1，则b（1，0，0），b1（1，0，2），a（0，，0），c（0，，0），c1（0，，2）.
i）由f、m分别为b1b、c1a的中点可知：f（1，0，1），m（0，0，1），所以（1，0，0）=又与不共线，所以，mf∥ob.
平面abcd，ob平面abcd，
平面abcd
ii）（1，0，0），而（1，0，0）为平面（即平面acc1a1）的法向量。
所以，平面mf⊥平面acc1a1.
iii）为平面abcd的法向量，设的一个法向量，则。
设平面afc1与平面abcd所成二面角的大小为，由图知为锐角。
所以=30° .即平面afc1与平面abcd所成二面角的大小为30°
16.法一：传统法。
1）取ab中点e，连结me，ec
则，又，， 又，又。
又， 又，面面。
法二：向量法。
以a为原点，ad，ab，ap所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系a-xyz
2）设平面pcd的法向量为， 由。
为平面pad的一个法向量，
面面。直线与ac所成角的余弦值为。
17． 解法一：(1)∵四边形是正方形，
1分。平面平面，
又∵，平面．……3分。
平面，4分。
平面5分。(2)连结，平面，是直线与平面所成的角5分。
设，则。6分。
即直线与平面所成的角为8分。
(ⅲ)过作于，连结9分。
平面，平面．
是二面角的平面角． …10分。
平面平面，平面．
在中，，有．
由(2)所设可得，12分。
二面角等于14分。
解法二： ∵四边形是正方形 ，平面平面，平面2分。
可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则。是正方形的对角线的交点，……4分。
(1) ，6分。
平面7分。2) 平面，为平面的一个法向量8分。
9分。直线与平面所成的角为10分。
(ⅲ)设平面的法向量为，则且，且．
即。取，则， 则12分。
又∵为平面的一个法向量，且，设二面角的平面角为，有图可知为锐角，则，二面角等于14分。
18． 解：方法一：（1）证明：取ob中点e，连接me，ne
又， （2） 为异面直线与所成的角（或其补角）
作连接，所以与所成角的大小为。
（3）点a和点b到平面ocd的距离相等，连接op,过点a作。
于点q，又 ,线段aq的长就是点a到平面ocd的距离，，所以点b到平面ocd的距离为．
方法二(向量法)
作于点p,如图，分别以ab,ap,ao所在直线为轴建立坐标系。
设平面ocd的法向量为，则。
即 取，解得。
2)设与所成的角为， 与所成角的大小为。
3)设点b到平面ocd的交流为，则为在向量上的投影的绝对值，由 , 得。所以点b到平面ocd的距离为。
19．方法一。
（i）证明：
（ii）设点e到平面的距离为h，由题设可得。算得。则。
（iii）过d作，垂足为h，连则。
为二面角的平面角。
设，在直角中，
在直角中，在直角中，
在直角中，，在直角中，
因为以上各步步步可逆，所以当时，二面角的大小为。
方法二：以da，dc，dd1建立空间坐标系，设，有。
（i）证明：因为，所以，
（ii）解：e是ab中点，有，设平面的法向量为则也即，得，从而，点e到平面的距离。
（iii）设平面的法向量为。
由令，得取。
而平面ecd的一个法向量为。
不合，舍去），即时，二面角的大小为。
20、解法1：（ⅰ连ac，设ac与bd相交于点o,ap与平面相交于点，,连结og，因为pc∥平面，平面∩平面apc＝og,故og∥pc，所以，og＝pc＝.
又ao⊥bd,ao⊥bb1，所以ao⊥平面，故∠ago是ap与平面所成的角。
在rt△aog中，tanago＝，即m＝.
所以，当m＝时，直线ap与平面所成的角的正切值为。
ⅱ）可以推测，点q应当是aici的中点o1，因为。
d1o1⊥a1c1, 且 d1o1⊥a1a ，所以 d1o1⊥平面acc1a1，又ap平面acc1a1，故 d1o1⊥ap.那么根据三垂线定理知，d1o1在平面apd1的射影与ap垂直。
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