【12湖北】19.（本小题满分12分）
如图1，∠acb=45°，bc=3，过动点a作ad⊥bc，垂足d**段bc上且异于点b，连接ab，沿ad将△abd折起，使∠bdc=90°（如图2所示），1）当bd的长为多少时，三棱锥a-bcd的体积最大；
2）当三棱锥a-bcd的体积最大时，设点e，m分别为棱bc，ac的中点，试在棱cd上确定一点n，使得en⊥bm，并求en与平面bmn所成角的大小。
13全国】14、如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是答案：90度。
13全国】19、(本小题满分12分)
如图，在三棱锥中，，，平面平面。
ⅰ）求直线与平面所成角的大小；
ⅱ）求二面角的大小。
13新课标】18.（本小题满分12分）
如图，三棱柱abc-a1b1c1中，ca=cb，ab=a a1，∠ba a1=60°.
ⅰ）证明ab⊥a1c;
ⅱ）若平面abc⊥平面aa1b1b，ab=cb=2，求直线a1c 与平面bb1c1c所成角的正弦值。
18．【解析】（ⅰ取ab中点e，连结ce，ab=，=是正三角形，⊥ab， ∵ca=cb， ∴ce⊥ab， ∵e，∴ab⊥面，
ab6分。ⅱ）由（ⅰ）知ec⊥ab，⊥ab，又∵面abc⊥面，面abc∩面=ab，∴ec⊥面，∴ec⊥，ea，ec，两两相互垂直，以e为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，有题设知a(1,0,0),(0,,0),c(0,0,),b(－1,0,0),则=（1,0，）,1,0,),09分。
设=是平面的法向量，则，即，可取=（，1，-1），=直线a1c 与平面bb1c1c所成角的正弦值为12分。
14湖北】19．（本小题满分12分）如图甲，在等腰中，分别是，，边的中点，，现将沿翻折成直二面角，如图乙．
1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求二面角的余弦值；（3）**段上是否存在一点，使？证明你的结论．
19．（1）如题图乙，在中，由于点、分别是，的中点，，又平面，平面，∴平面．（4分）
2）由题意易知、、两两互相垂直，以点为坐标原点，分别以直线、、为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，则，，，5分）
取平面的一个法向量为．
设平面的一个法向量为，又，则即令，得。
．（6分），（7分）
即二面角的余弦值为．（8分）
3）假设**段上存在一点，使．
不妨设，由，．(9分)
由（2）得，．，即，解得．（11分），∴**段上不存在一点，使．（12分）
14全国】19. (本小题满分12分)如图三棱锥中，侧面为菱形，.
i）证明：；
ⅱ）若，，ab=bc，求二面角的余弦值。
19．【解析】：(连结，交于o，连结ao．因为侧面为菱形，所以 ，且o为与的中点．又，所以平面，故又，故6分。
ⅱ）因为且o为的中点，所以ao=co 又因为ab=bc ，所以。
故oa⊥ob ，从而oa，ob，两两互相垂直．
以o为坐标原点，ob的方向为x轴正方向，ob为单位长，建立如图所示空间直角坐标系o-．因为，所以为等边三角形．又ab=bc ，则，
设是平面的法向量，则。
即所以可取。
设是平面的法向量，则，同理可取则，所以二面角的余弦值为。
14全国2】18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥p-abcd中，底面abcd为矩形，pa⊥平面abcd，e为pd的中点。
ⅰ）证明：pb∥平面aec；
ⅱ）设二面角d-ae-c为60°，ap=1，ad=，求三棱锥e-acd的体积。
答案】 (1) 无 （2） 无。解析】
设ac的中点为g, 连接eg。在三角形pbd中，中位线eg//pb,且eg在平面aec上，所以pb//平面aec.
2）设cd=m, 分别以ad,ab,ap为x,y,z轴建立坐标系，则。
14广东】18.（13分）如图4，四边形abcd为正方形，pd⊥平面abcd，∠dpc＝，af⊥pc于点f，fe∥cd，
交pd于点e.
1）证明：cf⊥平面adf2）求二面角d－af－e的余弦值。
14湖南】 （本小题满分l2分）
如图6，四棱柱的所有棱长都相等，，四边形和四边形均为矩形。
i)证明：底面abcd；
ii)若，求二面角的余弦值。
19.【答案】(1) 详见解析 (2)
(2)过作的垂线交于点，连接。不妨设四棱柱的边长为。
底面且底面面。面。又面。
四边形为菱形。
又且，面。面。
又面。又且，面。
面。为二面角的平面角，则。
且四边形为菱形，则。
再由的勾股定理可得，则，所以二面角的余弦值为。
14辽宁】19. （本小题满分12分）
如图，和所在平面互相垂直，且，，e、f分别为ac、dc的中点。
1）求证：；
2）求二面角的正弦值。
山东】（17）（本小题满分12分）
如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点。
ⅰ）求证：；
ⅱ）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值。
14陕西】本小题满分12分）
四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分。
别交四面体的棱于点。
）证明：四边形是矩形；
）求直线与平面夹角的正弦值。
答案】 （1） 省略 （2） 解析】
14四川】18．三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示。设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且。
1）证明：为线段的中点；
2）求二面角的余弦值。
解：（1）由三棱锥及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥中：
平面平面，
设为的中点，连接，
于是， 所以平面。
因为，分别为线段，的中点，所以，又，故。
假设不是线段的中点，则直线与直线是平面内相交直线。
从而平面，这与矛盾。
所以为线段的中点。
2）以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，
于是，， 设平面和平面的法向量分别为和。
由，设，则。
由，设，则。
所以二面角的余弦值。
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