【练习】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式（其中）的四点是否共面？
解：∵，点与点共面．
例2．已知，从平面外一点引向量。
1）求证：四点共面；
2）平面平面．
解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，共面；
2）∵，又∵，所以，平面平面．
空间距离。利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．
例１如图，已知正方形abcd的边长为4，e、f分别是ab、ad的中点，gc⊥平面abcd，且gc＝2，求点b到平面efg的距离．
分析：由题设可知cg、cb、cd两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过b且垂直于平面efg的向量，它的长即为点b到平面efg的距离．
解：如图，设4i， 4j， 2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系c－xyz．
由题设c(0,0,0)，a(4,4,0)，b(0,4,0)，d(4,0,0)，e(2,4,0)，f(4,2,0)，g(0,0,2)．
，设平面efg，m为垂足，则m、g、e、f四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得， ＝2a+4b,－2b－4c,2c)．
由平面efg，得，，于是，．
整理得：，解得．
＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝．
故点b到平面efg的距离为．
说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．
例2已知正方体abcd－的棱长为1，求直线与ac的距离．
分析：设异面直线、ac的公垂线是直线l，则线段在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．
解：如图，设i， j， k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系－xyz，则有，．
设n是直线l方向上的单位向量，则．
n，n， ，解得或．
取n，则向量在直线l上的投影为。
n··．由两个向量的数量积的几何意义知，直线与ac的距离为．
在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积时，有一个例题（见[1]，p53）要求证明如下的公式：
其中点o是二面角p-mn-q的棱mn上的点，oa、ob分别在平面p和平面q内。，，为二面角p-mn-q（见图1）。
图1公式（1）可以利用向量的内积来加以证明：
以q为坐标平面，直线mn为y轴，如图1建立直角坐标系。 记xoz平面与平面p的交线为射线od，则，得，。
分别沿射线oa、ob的方向上作单位向量，，则。
由计算知，的坐标分别为，于是，公式（1）在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个应用。
例1．立方体abcd-a1b1c1d1的边长为1，e、f、g、h、i分别为a1d1、a1a、a1b1、b1c1、b1b的中点。
求面efg和面ghi的夹角的大小（用反三角函数表示）。
解由于图2中所画的两平面efg和ghi只有一个公共点，没有交线，所以我们可以将该立方体沿ab方向平移1个单位。这样就使平面efg平移至平面。而就是二面角g-ih-（见图3）。
利用公式（1），只要知道了，和的大小，我们就能求出。
图2由已知条件，和均为等边三角形，所以，而。因此，图3即。解得。
当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量，利用法向量同样也可算出夹角来。
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