bst金牌数学高二（选修2—1）专题系列之空间向量与立体几何（五）
——2024年真题汇编。
一、空间向量。
1.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
2.空间向量的直角坐标系：
1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。
注：①点a（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。
②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yoz中的点设为(0,y,z)
2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。空间中任一向量=（x,y,z）
3）空间向量的直角坐标运算律：
若，，则，。
若，，则。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
推导：当p为ab中点时， ，三角形重心p坐标为。
δabc的五心：
内心p：内切圆的圆心，角平分线的交点。（单位向量）
外心p：外接圆的圆心，中垂线的交点。
垂心p：高的交点：（移项，内积为0，则垂直）
重心p：中线的交点，三等分点（中位线比）
中心：正三角形的所有心的合一。
4）模长公式：若，则，
5）夹角公式：。
δabc中①<=a为锐角②<=a为钝角，钝角δ
6）两点间的距离公式：若，则，或
3. 空间向量的数量积。
1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。
2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。
3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。
4）空间向量数量积的性质：
5）空间向量数量积运算律：
交换律）。③（分配律）。 不满足乘法结合率：
二、立体几何。
线线夹角（共面与异面）两线的方向向量的夹角或夹角的补角，
3-1线面夹角：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可， 若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角。
3-2面面夹角（二面角）：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角。
例。【2018全国ii·理】（本小题12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点．
1）证明：平面；
2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
拓展练习。2018全国i·理】（本小题12分）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且。
1）证明：平面平面；
2）求与平面所成角的正弦值。
1.【2018北京·理】（本小题14分）如图，在三棱柱abc中，平面abc，d，e，f，g分别为，ac，，的中点，ab=bc=，ac==2．
1）求证：ac⊥平面bef；
2）求二面角bcdc1的余弦值；
3）证明：直线fg与平面bcd相交．
2.【2018全国iii·理】（本小题12分）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
1）证明：平面平面；
2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．
3.【2018江苏】（本小题分）如图，在正三棱柱abc-a1b1c1中，ab=aa1=2，点p，q分别为a1b1，bc的中点．
1）求异面直线bp与ac1所成角的余弦值；
2）求直线cc1与平面aqc1所成角的正弦值．
4.【2018浙江】（本小题15分）如图，已知多面体abca1b1c1，a1a，b1b，c1c均垂直于平面abc，∠abc=120°，a1a=4，c1c=1，ab=bc=b1b=2．
ⅰ）证明：ab1⊥平面a1b1c1；
ⅱ）求直线ac1与平面abb1所成的角的正弦值．
5.【2018天津·理】(本小题满分14分)如图，且ad=2bc，,且eg=ad，且cd=2fg，，da=dc=dg=2.
1）若m为cf的中点，n为eg的中点，求证：；
2）求二面角的正弦值；
3）若点p**段dg上，且直线bp与平面adge所成的角为60°，求线段dp的长。
6.【2018上海】(本小题满分14分)已知圆锥的顶点为p，底面圆心为o，半径为2．
1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
2）设po=4，oa、ob是底面半径，且∠aob=90°，m为线段ab的中点，如图．求异面直线pm与ob所成的角的大小．
课前回顾。2017课标1，理18】如图，在四棱锥p-abcd中，ab//cd，且。
1）证明：平面pab⊥平面pad；
2）若pa=pd=ab=dc，，求二面角a-pb-c的余弦值。
《空间向量与立体几何
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