立体几何中的向量方法。
课前学习预览。
1．理解直线的方向向量与平面的法向量；
2．能用向量方法解决线面、面面的夹角计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
主干知识学习。
知识连线。1．直线的方向向量。
直线的方向向量是指和这条直线平行（或共线）的向量，一条直线的方向向量有无数个。
2．平面的法向量。
直线平面，取直线的方向向量，则这个方向向量叫做平面的法向量，显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量。
3．直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用。
1）直线的方向向量为，直线的方向向量为。
如果，那么；
如果，那么。
2）直线的方向向量为，平面的法向量为。
若，则；若，则。
3）平面的法向量为，平面的法向量为。
若，则；若，则。
4．利用空间向量求空间角。
1）求两条异面直线所成的角。
设分别是两异面直线的方向向量，则。
2）求直线与平面所成的角。
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，则。
3）求二面角的大小。
若ab、cd分别是二面角的两个面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角（如图①）
设分别是二面角的两个面的法向量，则向量与的夹角（或其补角）的大小就是二面角的平面角的大小（如图②③）
5．利用空间向量求空间距离。
1）空间中两点间的距离。
若，则。2）点面距离的求法。
已知ab为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则以平面的距离为。线面距、面面距一般可转化为点面距来求解。
知能演练。1．已知集合，集合，集合，则下列结论中正确的个数为（ ）
a．4个b．3个c．2个d．1个。
2．如果平面的一条斜线与它在这个平面的射影的方向向量分别是，那么这条斜线与平面所成的角是（ ）
a．90° b．30° c．45° d．60°
3．如图四面体abcd中，e、f分别是ac、bd的中点，若cd=2ab，，则ef与cd所成的角等于（ ）
a．30b．45°
c．60d．90°
4．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于 。
5．如图，在正三棱柱中，ab=1，若二面角的大小为，则点到直线ab的距离为 。
重难问题讲解。
重点难点。问题一：直线与平面所成的角。
典例1】如图，在棱长为的正方体中，e是bc的中点，平面交于f。
1）指出f在上的位置，并说明理由；
2）求直线ad与平面所成角的余弦值。
知能提升］1．如图，在正三棱锥p—abc中，点o、d分别是ac、pc的中点，底面abc。
1）求证od//平面pab；
2）求直线od与平面 pbc所成角的正弦值。
问题二：平面与平面所成的角。
典例2】如图，在四棱锥v—abcd中，底面abcd是正方形，侧面vad是正三角形，平面底面abcd。
1）证明：平面；
2）求面与面所成的二面角的正切值。
知能提升］2．如图所示，直三棱柱中，，侧棱，侧面的两条对角线交点为d，的中点为m。
1）求证平面bdm；
2）求面与面cbd所成二面角的余弦值。
问题三：探索性、开放性、存在性问题。
典例3】如图，在底面是矩形四棱锥p—abcd中，底面abcd，
1）求证：平面平面pad；
2）若e是pd的中点，求异面直线ae与pc所成角的余弦值；
2）在bc边上是否存在一点g，使得d点到平面pag的距离为1，若存在，求出bg的值；若不存在，请说明理由。
知能提升］3．如图，直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，是中点，e是b1c的中点。
1）求；2）**段上是否存在点f，使平面，若存在，求出，若不存在，说明理由。
名师讲台：1．用空间向量方法证明立体几何的平行与垂直问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的定理。
2．用向量方法证明平行、垂直问题的步骤：
1）建立空间图形与空间向量的关系（可以建立空间直角坐标系，也可以不建系），用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；
2）通过向量运算研究平行、垂直问题；
3）根据运算结果解释相关问题。
3．若能够直接利用关于平行、垂直的定理进行转化证明，就不要盲目引入空间向量。
4．求异面所成的角，用向量法比较简单，若用基向量法求解，则必须选好空间的一组基向量，若用坐标求解，则一定要将每个点的坐标写正确。
5．找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作出的垂线或找线上一点到面的垂线，或求出法向量利用已知公式求出。
6．求二面角的方法主要有以下几种：
1）定义法：由图形找到或作出二面角的平面角，利用解三角形或向量求出大小；
2）公式法：构造封闭图形，利用向量数量积运算与模的性质去求大小；
3）法向量法：利用两个平面法向量夹角去求二面角大小，要注意区别与联系；
4）面积法：在客观题中可以使用。
7．求空间角的方法可以归结为三类方法：综合法、向量法和坐标法。
高考原生态。
高考解题示范。
如图，在直四棱柱中，已知dc=dd1=2ad=2ab，，ab//dc。
1）设e是dc的中点，求证：平面；
2）求二面角的余弦值。
体验高考］如图所示，等腰的底边，高，点e是线段bd上异于点b、d的动点，点f在bc边上，且现沿ef将折起到的位置，使。 记表示四棱锥p—acfe的体积。
1）求的表达式；
2）当为何值时，取得最大值？
3）当取得最大值时，求异面直线ac与pf所成角的余弦值。
巩固练习。一、选择题。
1．二面角的棱上有a、b两点，直线ac、bd分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于ab. 已知ab=4，ac=6，bd=8，cd=，则该二面角的大小为（ ）
a．150b．45c．60d．120°
2．等腰直角中，ab=bc=1，m为ac中点，沿bm把它折成二面角，折后a和c的距离为1，则二面角c—bm—a的大小为（ ）
a．30b．60c．90d．120°
3．如图所示，在正方体中，e、f分别在、ac上，且，则（ ）
a．ef至多与、ac之一垂直。
b．ef是a1d，ac的公垂线。
c．ef与bd1相交。
d．ef与bd1异面。
4．如图，在直三棱柱中，ab=bc=aa1，，点e、f分别是棱ab、bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是（ ）
a．45b．60°
c．90d．120°
5．已知长方体中，ab=bc=4，cc1=2，则直线bc1和平面dbb1d1所成角的正弦值为（ ）
abcd．
6．在正三棱柱中，若ab=2，aa1=1，则点a到平面a1bc的距离为（ ）
abcd．
二、填空题。
7．已知二面角的平面角是60°，直线，则直线与平面n所成角的大小为。
8．如图，在直四棱柱中，底面abcd是菱形，，aa1=ab=1，则截面acc1a1的面积为异面直线ad与d1c所成角的余弦值为。
8题图9题图。
9．如图，正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线e1d与bc1所成的角的大小为。
10．正方体中，二面角的大小为 。
三、解答题。
11．如图，四棱锥p—abcd中，底面abcd，pa=ad=cd=2ab=2，m为pc的中点。
1）求证：bm//平面pad；
2）平面pad内是否存在一点n，使平面pbd？若存在，确定n的位置，若不存在，说明理由；
3）求直线pc与平面pbd所成的角的正弦值。
12．如图，在直三棱柱中，，cb=1，为侧棱cc1上一点，
1）求证：平面a1bc；
2）求二面角b—am—c；
3）求点c到平面abm的距离。
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