知识点一空间向量的坐标运算。
设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
解 (1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以＝＝，解得k＝－.
2)因为(ka＋b)⊥(a－3b)，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(4)＋(k＋5)×(16)＝0，解得k＝.
反思感悟】 以下两个充要条件在解题中经常使用，要熟练掌握．若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a∥bx1＝λx2且y1＝λy2，且z1＝λz2(λ∈r)；a⊥bx1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
已知a(3,3,1)，b(1,0,5)，求：
1)线段ab的中点坐标和长度；
2)到a，b两点距离相等的点p(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．
解 （1）设m是线段ab的中点，则＝(＝2，，3)，所以线段ab的中点坐标是(2，，3)．
ab|＝＝2)点p(x，y，z)到a，b两点距离相等，则，化简，得4x＋6y－8z＋7＝0.即到a，b两点距离相等的点p(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件是4x＋6y－8z＋7＝0.
知识点二证明线面的平行、垂直。
在正方体abcd－a1b1c1d1中，e，f分别为bb1，cd的中点，求证：d1f⊥平面ade.
证明， 不妨设已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系d-xyz,则d（0，0，0），a（2，0，0），e（2，2，1）， f（0，1，0）， d 1（0，0，2），所以 ＝(2,0,0)，＝0,1，－2)，·0＋0＋0＝0，所以d1f⊥ad.又＝(0,2,1)，所以、＝0＋2－2＝0，所以d1f⊥ae.又ad∩ae＝a，所以d1f⊥平面ade.
反思感悟】本例中坐标系的选取具有一般性，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负数，且易确定，在今后会常用到．
已知a(－2,3,1)，b(2，－5,3)，c(8,1,8)，d(4,9,6)，求证：四边形abcd为平行四边形．
证明设o为坐标原点，依题意=（-2，3，1）， 2，-5，3），
同理可得 = 4, 8,2), 6,6,5), 6,6,5).
由 = 可知 ∥，
所以四边形abcd是平行四边形。
知识点三向量坐标的应用。
棱长为1的正方体abcd－a1b1c1d1中，p为dd1的中点，o1、o2、o3分别是平面a1b1c1d1、平面bb1c1c、平面abcd的中心．
1)求证：b1o3⊥pa；
2)求异面直线po3与o1o2所成角的余弦值；
3)求po2的长．
1)证明以d为坐标原点，da、dc、dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系d-xyz.
则b1(1,1,1)，o3(，,0)，p(0,0，)，a(1,0,0)，(1)，＝1)，＝1,0，－)0＋＝0，即⊥
b1o3⊥pa.
2)解 ∵o1(，，1)，o2(，1，)，则 =（0，，）
又。 cos〈， 异面直线po3与o1o2所成角的余弦值为。
3)∵p(0,0，)，o2(，1，)，1,0)．
反思感悟】 在特殊的几何体中建立空间直角坐标系，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
直三棱柱abc—a1b1c1的底面△abc中，ca＝cb＝1，∠bca＝90°，aa1＝2，n是aa1的中点．
1)求bn的长；
2)求ba1，b1c所成角的余弦值．
解以c为原点建立空间直角坐标系，则。
1)b(0,1,0)，n(1,0,1)，bn＝
2)a1(1,0,2)，c(0,0,0)，b1(0,1,2)．
＝(1，－1,2)，＝1，－1,2)，＝0，－1，－2)，＝1－4＝－3，||cos〈，〉
＝－.ba1，b1c所成角的余弦值为。
知识点4 棱柱、棱锥和棱台圆柱、圆锥、圆台和球。
例1：如图，用过的一个平面（此平面不过）截去长方体的一个角，剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？请说出各部分的名称．
例2：观察下面三个图形，分别判断（1）中的三棱镜，（2）中的方砖，（3）中的螺杆头部模型，分别有多少对互相平行的平面？其中能作为棱柱底面的分别有几对？
例3：请指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．
知识点5：中心投影和平行投影。
知识、一个封闭的立方体，它的六个表面各标有这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母对面的字母分别为。
例5：如图，为正方体的中心，则在该正方体各个面上的射影可能是( c )
a． b． c． d．
例6：一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积。
单位：cm3）为（ c ）
a）72cm3 （b）36cm3 （c）24cm3 （d）12cm3
例7：将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（c）
abcd.知识点6：平面的基本性质。
完成**。例13：如图，在长方体中，下列命题。
是否正确？并说明理由．
．在平面内；
．若分别为面的中心，则平面与平面的交线为；
．由点可以确定平面；
．设直线平面，直线平面，若与相交，则交点一定在直线上；
．由点确定的平面与由点确定的平面是同一个平面．
例14：在正方体中，画出平面与平面的交线，并说明理由．
例16：正方体中，分别为的中点，．
求证：（1）四点共面；
2）若交平面于点，则三点共线．
知识点7：空间两条直线的位置关系。
例18：三棱锥中，分别是的中点．
1）求证：四边形是平行四边形；
2）若，求证：四边形是菱形；
3）当与满足什么条件时，四边形是正方形．
例19：已知分别是空间四边形四条边上的点．
且，分别为的中点，求证：四边形是梯形．
知识点8：直线与平面的位置关系。
例24：如图， e、f、g、h分别是空间四边形abcd的边ab、bc、cd、da的中点，
求证：（1）四点e、f、g、h共面；
（2）bd//平面efgh，ac//平面efgh．
例25：如图，在三棱柱中，，点侧面，点确定平面，试作出平面与三棱柱表面的交线．
知识点9：平面与平面的位置关系。
例32：如图，在长方体中，求证：平面∥平面．
思考：如果两个平面平行，那么：
1）一个平面内的所有直线是否平行于另一个平面？
2）分别在两个平行平面内的两条直线是否平行？
例33：棱长为a的正方体ac1中，设m、n、e、f分别为棱a1b1、a1d1、 c1d1、 b1c1的中点．
1)求证：e、f、b、d四点共面；
2)求证：面amn∥面efbd．
例34：如图，在三棱柱abc-a1b1c1中，点e、d分别是b1c1与bc的中点．求证：平面a1eb//平面adc1．
例35：p是长方形abcd所在平面外的一点，m、n两点分别是ab、pd上的中点．
求证：mn∥平面pbc．
一、选择题。
1．已知点a(x1，y1，z1)，则点a关于xoz平面的对称点a′的坐标为( )
a．(－x1，－y1，－z1) b．(－x1，y1，z1)
c．(x1，－y1，z1) d．(x1，y1，－z1)
答案 c解析点a与a′关于xoz平面对称，即aa′⊥平面xoz.且a、a′到面xoz的距离相等，所以a与a′的x，z的值相同，y的值互为相反数．
2．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于( )
a．(0,3，－6) b．(0,6，－20)
c．(0,6，－6) d．(6,6，－6)
答案 b解析 ∵b＝x－2a，∴x＝4a＋2b＝(0,6，－20)．
3．已知a＝(sinθ，cosθ，tanθ)，b＝(cosθ，sinθ，)有a⊥b，则θ等于( )
a．－ b.
c．2kπ－(k∈z) d．kπ－(k∈z)
答案 d解析 a·b＝2sinθcosθ＋1＝sin2θ＋1＝0，2θ＝2kπ－，kπ－.
4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，cos〈a，b〉＝，则λ为( )
a．2 b．－2
c．－2或 d．2或－
答案 c解析由cos〈a，b〉＝＝化得55λ2＋108λ－4＝0，由此可解得λ＝－2或λ＝.
5．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是( )
a．90° b．60° c．30° d．0°
答案 a解析 ∵|a|＝|b|＝，a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
二、填空题。
6．模等于2且方向与向量a＝(1,2,3)相同的向量为。
答案 (，2，3)
解析设b＝λa (λ0)．
则λ2＋4λ2＋9λ2＝28，λ2＝2，故λ＝.
7．已知三个力f1＝(1,2,3)，f2＝(－1,3，－1)，f3＝(3，－4,5)，若f1，f2，f3共同作用于一物体上，使物体从点m1(1，－2，1)移动到点m2(3,1,2)，则合力所做的功是___
空间向量与立体几何 1
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