一选择题。1属于。真命题的（）
a．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示。
b．若为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量。
c．△abc为直角三角形的充要条件是·＝0
d．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底。
底。2．下列命题，正确的是( )
a．若a≠b，则|a|≠|b|
b．若|a|>|b|，则a>b
c．若a＝b，则|a|＝|b|
d．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
3．下列命题，正确的是( )
a.已知向量是空间的一个基底，那么向量a＋b，a－b，c不能构成空间的一个基。
b．任一向量与它的相反向量不相等；
c.模为0是一个向量方向不确定的充要条件．
d.单位向量都相等。
4．判断下列命题中为真命题的是( )
a．向量与的长度相等。
b．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆。
c．空间向量就是空间中的一条有向线段。
d．不相等的两个空间向量的模必不相等。
5．已知四边形abcd，o为空间任意一点，且＋＝＋则四边形abcd是( )
a．空间四边形 b．平行四边形。
c．等腰梯形 d．矩形。
6. 设直线l1的方向向量为a＝(2,1，－2)，直线l2的方向向量为b＝(2,2，m)，若l1⊥l2，则m＝(
a．1b．－2
c．－3d．3
7.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则( )
a．l∥α b．lα
c．l⊥α d．lα或(l∥α)
8设abcd，abef都是边长为1的正方形，fa⊥面abcd，则异面直线ac与bf所成的角等于( )
a．45° b．30°
c．90d．60°
9.正方体abcda1b1c1d1中，bb1与平面acd1所成角的余弦值为( )
a. b.
c. d.
10. 定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，，令。
下面说法错误的是（ ）
a.若与共线，则b.
c.对任意的，有 d.
11.下列条件使m与a、b、c一定共面的是( )
a.＝2－＋
b.＋＋0c.＝＋
d.＋＋0二填空题。
12. 已知在棱长为a的正方体abcda′b′c′d′中，e是bc的中点．则直线a′c与de所成角的余弦值为___
13. 正△abc与正△bcd所在平面垂直，则二面角abdc的正弦值为___
14. 对于不共面的三个向量a，b，c，如果xa＋yb＋zc＝0，则xyz
15.非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k
16.已知空间三个向量a＝(1，－2，z)，b＝(x,2，－4)，c＝(－1，y,3)，若它们分别两两垂直，则xyz
17 若＝λ＋r)，则直线ab与平面cde的位置关系是___
三、简答题。
18． 如图，已知是直角梯形，平面． (1) 证明：；
2) 若是的中点，证明：∥平面；
（3）若，求三棱锥的体积．
19．如图组合体中，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合一个点。
ⅰ)求证：无论点如何运动，平面平面；
ⅱ)当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比．
20.如图5所示，在三棱锥中，平面，，为的中点，四点都在球的球面上。
1）证明： 平面平面；
2）证明：线段的中点为球的球心；
3）若球的表面积为， 求三棱锥的体积。
21．如图4所示，在边长为12的正方形中，点**段上，且，，作，分别交、于点、，作，分别交、于点、，将该正方形沿、折叠，使得与重合，构成如图5所示的三棱柱． （1）在三棱柱中，求证：平面；
2）求平面将三棱柱分成上、下两部分几何体的体积之比．
22．如图所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，，，分别为、、的中点．
1）求证：平面；
2）求三棱锥的体积．
23. 在三棱锥中， (1)求三棱锥的体积；
2) 证明3)求二面角c-sa-b的大小。
24. 如图，在直三棱柱中，，，是边的中点，直线与底面所成的角为。
)求直三棱柱的体积；
)求证：∥ 面。
25．如图，在四棱锥中，，，底面是菱形，且，为的中点．
1）证明：平面；
2）侧棱上是否存在点，使得平面？
并证明你的结论．
一选择题。1答案 b
解析使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故a不正确；△abc为直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故c不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故d不正确，故选b.
2.解析：选显然错；向量不能比较大小故b错；c正确；|a|＝|b|说明a与b长度相等，因为方向不定，所以d错．
3. 解：d不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同．b不正确，零向量的相反向量仍是零向量，零向量与零向量是相等的．c正确。
a∵a＋b，a－b，c不共面，能构成空间一个基底．
假设a＋b，a－b，c共面，则存在x，y，使c＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴c＝(x＋y)a＋(x－y)b.
从而由共面向量定理知，c与a，b共面．
这与a、b、c不共面矛盾．
a＋b，a－b，c不共面．
4. 解析：选a. |故选项a对；选项b应为球面；选项c，空间向量可以用有向线段来表示，但不等同于有向线段；选项d，向量不相等但有可能模相等．
5解析：选b.由＋＝＋得－＝＋即＝，∴cbda.
四边形abcd为平行四边形。
6. 解析：选。
m＝3.7．解析：选d.因为a·b＝0，所以a⊥b，故选d.
8.解析：选d.以b为原点，ba为x轴，bc为y轴，z轴建立空间直角坐标系，则a(1,0,0)，c(0,1,0)，f(1,0,1)，＝1,1,0)，＝1,0,1)．
cos〈，〉
ac与bf所成的角为60°
9解析：选d.建系如图，设正方体棱长为1，则＝(0,0,1)．
b1d⊥面acd1，∴取＝(1,1,1)为面acd1的法向量．
设bb1与面acd1所成的角为θ，则sinθ＝＝cosθ＝.
10.【答案】b
解析】若与共线，则有，故a正确；因为，而。
所以有，故选项b错误，故选b。
11.解析：选d.使m与a、b、c一定共面的充要条件是对于空间内任意一点o，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1.选项a中x＋y＋z＝2；
选项b中变形后x＋y＋z＝－3，选项c中x＋y＋z＝；
选项d中变形后3＝＋＋即＝＋＋x＋y＋z＝1，故选d
12. 解析：如图所示建立空间直角坐标系，则a′(0,0，a)，c(a，a,0)，d(0，a,0)，e，＝(a，a，－a)，＝cos〈，〉
答案：13.解析：取bc中点o，连结ao，do，建立如图所示的坐标系：
设bc＝1，则a，b，d.
所以＝，＝由于＝为平面bcd的法向量，设平面abd的法向量n＝(x，y，z), 则。
所以。取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，所以cos〈n，〉＝sin〈n，〉＝
答案：答案：0 0 0
14. 答案：0 0 0
15.解析：若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴k＝±1.
答案：±116.解析：∵a⊥b，x－4－4z＝0.
a⊥c，－1＋(－2)y＋3z＝0.
b⊥c，－x＋2y－12＝0，x＝－64，y＝－26，z＝－17.
答案：－64 －26 －17
17解析r)，则与、共面．
ab∥平面cde或ab平面cde.
答案：ab∥平面cde或ab平面cde
三、简答题。
18．证明：（1）由已知易得，．…1分。
即．……2分。
又 ∵平面，平面。
． …3分，平面． …4分。
平面，5分。
2)取的中点为，连结．
∴，且，四边形是平行四边形，即．……6分。
∵平面，平面………7分。
∵分别是的中点，．
平面，平面．……9分。
，平面平面．……10分。
平面，平面．……11分。
3）由已知得，……12分。
所以，．…14分。
19。（i）因为侧面是圆柱的的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合一个点，所以 ……2分。
又圆柱母线平面， 平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以平面平面；……6分。
ii）设圆柱的底面半径为，母线长度为，当点是弧的中点时，三角形的面积为，三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为10分。
圆柱的体积为12分。
四棱锥与圆柱的体积比为14分。
21．（1）证明：在正方形中，∵，三棱柱的底面三角形的边． ，则．
四边形为正方形，，，而，平面．
2）解：∵平面，为四棱锥的高．
四边形为直角梯形，且，梯形的面积为，
四棱锥的体积，
由（1）知，，且，平面．
三棱柱为直棱柱，三棱柱的体积为．
故平面将三棱柱分成上、下两部分的体积之比为．
22．（1）证法1：如图，取的中点，连接，分别为的中点，∴．
分别为的中点，∴．
四点共面．……2分。
分别为的中点，4分。
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