一、知识梳理。
1.空间向量与空间角的关系。
1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝cos〈m1，m2〉|.
2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sin θ＝cos〈m，n〉|.
3)求二面角的大小。
1°如图①，ab、cd是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈
2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉.
2.点面距的求法。
如图，设ab为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则b到。
平面α的距离d＝.
二、题型归纳。
题型一求空间距离。
例1】已知正方形abcd的边长为4，cg⊥平面abcd，cg＝2，e，f分别是ab，ad的中点，则点c到平面gef的距离为___
练习】已知直四棱柱abcd－a1b1c1d1中，底面abcd为正方形，ab＝2，cc1＝2，e为cc1的中点，则点a到平面bed的距离为。
a.2 b. c. d.1
题型二求二面角。
例2】如图，直三棱柱abc－a1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，aa1＝ac＝cb＝ab.
1)证明：bc1∥平面a1cd；
2)求二面角d－a1c－e的正弦值。
练习】如图，四棱锥中，⊥平面，底面为直角梯形，
．为中点，为中点。
ⅰ）求证： ；
ⅱ）求二面角的余弦值；
ⅲ)若四棱锥的体积为4，求的长。
题型三动点问题。
例3】如图，在三棱柱abc－a1b1c1中，aa1c1c是边长为4的正方形。平面abc⊥平面aa1c1c，ab＝3，bc＝5.
1)求证：aa1⊥平面abc；
2)求二面角a1－bc1－b1的余弦值；
3)证明：**段bc1上存在点d，使得ad⊥a1b，并求的值。
练习】如图，四棱柱abcd－a1b1c1d1中，侧棱a1a⊥底面。
abcd，ab∥dc，ab⊥ad，ad＝cd＝1，aa1＝ab＝2，e为棱。
aa1的中点。
1)证明：b1c1⊥ce；
2)求二面角b1－ce－c1的正弦值；
3)设点m**段c1e上，且直线am与平面add1a1所成角的正弦值为，求线段am的长。
三、课后练习。
1．如图，在四棱柱中，面。
)从下列三个条件中选择一个作为的充分条件，并给予证明： ；是平行四边形。
)设四棱柱的所以棱长都为1，且为锐角，求平面与平面所成锐二面角的取值范围。
2．已知三棱锥s—abc的底面是正三角形，a点在侧面sbc上的射影h是△sbc的垂心。
1)求证：bc⊥sa
2)若s在底面abc内的射影为o，证明：o为底面△abc的中心；
3)若二面角h—ab—c的平面角等于30°，sa=，求so.
空间向量与立体几何 1 经典
一 知识梳理。1.直线的方向向量与平面的法向量的确定。1 直线的方向向量 在直线上任取一非零向量作为它的方向向量。2 平面的法向量可利用方程组求出 设a，b是平面 内两不共线向量，n为平面 的法向量，则求法向量的方程组为。2.用向量证明空间中的平行关系。1 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2...
空间向量与立体几何 2向量法在立体几何中的综合应用
空间向量与立体几何 2 向量法在立体几何中的综合应用。学习目标 1 能够建立空间直角坐标系 2 掌握平面的法向量的求解方法 4 掌握向量法在一些平行 垂直证明中的应用 3 掌握向量法 面角和二面角的应用 重难点 重点 空间直角坐标系的建立和法向量的求解。难点 掌握法向量 面角和二面角的应用。基础内容...
2 立体几何 空间向量
高考解答题类型二 空间立体几何 空间向量 20 05山东文 理 本小题满分12分 如图，已知长方体，直线与平面所成的角为，垂直于为的中点 求异面直线与所成的角 求平面与平面所成二面角 锐角 的大小 求点到平面的距离。19 06山东理 本小题满分12分 如图，已知平面平行于三棱锥的底面abc，等边 所...