一、知识梳理。
1.直线的方向向量与平面的法向量的确定。
1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量。
2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为。
2.用向量证明空间中的平行关系。
1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)v1∥v2.
2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或lα存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或lαv⊥u.
4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥βu1 ∥u2.
3.用向量证明空间中的垂直关系。
1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2v1⊥v2v1·v2＝0.
2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥αv∥u.
3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥βu1⊥u2u1·u2＝0.
二、题型分类。
题型一证明平行问题。
例1】如图，在四面体a－bcd中，ad⊥平面bcd，bc⊥cd，ad＝2，bd＝2，m是ad的中点，p是bm的中点，点q**段ac上，且aq＝3qc.
证明：pq∥平面bcd.
练习】如图所示，平面pad⊥平面abcd，abcd为正方形，△pad是直角三角形，且pa＝ad＝2，e、f、g分别是线段pa、pd、cd的中点。求证：pb∥平面efg.
题型二证明垂直问题。
例2 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)abc—a1b1c1的所有棱长都为2，d为cc1的中点。求证：ab1⊥平面a1bd.
练习】如图所示，在四棱锥p－abcd中，pc⊥平面abcd，pc＝2，在四边形abcd中，∠b＝∠c＝90°，ab＝4，cd＝1，点m在pb上，pb＝4pm，pb与平面abcd成30°角。
1)求证：cm∥平面pad；
2)求证：平面pab⊥平面pad.
题型三解决线面角问题。
例3】在正方体中求与平面所成角的余弦值．
练习】如图所示，在四棱锥p－abcd中，pa⊥平面abcd，ab＝4，bc＝3，ad＝5，∠dab＝∠abc＝90°，e是cd的中点。
1)证明：cd⊥平面pae；
2)若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，求四棱锥p－abcd的体积。
题型四解决探索性问题。
例3】如图，在长方体abcd－a1b1c1d1中，aa1＝ad＝1，e为cd的中点。
1)求证：b1e⊥ad1；
2)在棱aa1上是否存在一点p，使得dp∥平面b1ae？若存在，求ap的长；若不存在，说明理由。
练习】如图所示，四棱锥s—abcd的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，p为侧棱sd上的点。
1)求证：ac⊥sd.
2)若sd⊥平面pac，则侧棱sc上是否存在一点e，使得be∥平面pac. 若存在，求se∶ec的值；若不存在，试说明理由。
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