§3.2立体几何中地向量方法。
知识点一用向量方法判定线面位置关系。
(1>设a、b分别是l1、l2地方向向量，判断l1、l2地位置关系：
a＝(2,3，－1>，b＝(－6，－9,3>．
a＝(5,0,2>，b＝(0,4,0>．
2>设u、v分别是平面α、β地法向量，判断α、β地位置关系：
u＝(1，－1,2>，v＝(3,2，>．
u＝(0,3,0>，v＝(0，－5,0>．
3>设u是平面α地法向量，a是直线l地方向向量，判断直线l与α地位置关系．
u＝(2,2，－1>，a＝(－3,4,2>．
u＝(0,2，－3>，a＝(0，－8,12>．
解(1>①∵a＝(2,3，－1>，b＝(－6，－9,3>，a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.
∵a＝(5,0,2>，b＝(0,4,0>，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
2>①∵u＝(1，－1,2>，v＝(3,2，>，u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α
∵u＝(0,3,0>，v＝(0，－5,0>，∴u＝－v，∴u∥v，∴α
3>①∵u＝(2,2，－1>，a＝(－3,4,2>，u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，∴lα或l∥α.
∵u＝(0,2，－3>，a＝(0，－8,12>，u＝－a，∴u∥a，∴l⊥α.
知识点二利用向量方法证明平行问题。
如图所示，在正方体abcd－a1b1c1d1
中，m、n分别是c1c、b1c1地中点．求证：mn∥平面a1bd.
证明方法一如图所示，以d为原点，da、dc、dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体地棱长为1，则可求得。
m (0,1，>，n (,1,1>，d(0,0,0>，a1(1,0,1>，b(1,1,0>，于是=<，0，），
设平面a1bd地法向量是
n=n＝(x，y，z>．
则n·＝0，得。
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1>．
又 ·n＝ (0，>·1，－1，－1>＝0，方法二∵ =
∥，又∵mn平面a1bd.
mn∥平面a1bd.
知识点三利用向量方法证明垂直问题。
在正棱锥p—abc中，三条侧棱两两互相垂直，g是△pab地重心，e、f分别为bc、pb上地点，且be∶ec＝pf∶fb＝1∶2.
1>求证：平面gef⊥平面pbc；
2>求证：eg是pg与bc地公垂线段．
证明 (1>方法一。
如图所示，以三棱锥地顶点p为原点，以pa、pb、pc所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
令pa＝pb＝pc＝3，则。
a(3,0,0>、b(0,3,0>、c(0,0,3>、e(0,2,1>、f(0,1,0>、g(1,1,0>、p(0,0,0>．
于是 ＝(3,0,0>，＝3,0,0>，故 ＝3，∴pa∥fg.
而pa⊥平面pbc，∴fg⊥平面pbc，又fg平面efg，∴平面efg⊥平面pbc.
方法二同方法一，建立空间直角坐标系，则。
e(0,2,1>、f(0,1,0>、g(1,1,0>．
(0，－1，－1>，＝0，－1，－1>，设平面efg地法向量是n＝(x，y，z>，则有n⊥，n⊥，令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0,1，－1>．
而显然=<3，0，0）是平面pbc地一个法向量。
这样n·=0,∴n⊥
即平面pbc地法向量与平面efg地法向量互相垂直，平面efg⊥平面pbc.
eg⊥pg，eg⊥bc，
eg是pg与bc地公垂线段。
知识点四利用向量方法求角。
四棱锥p—abcd中，pd⊥平面abcd，pa与平面abcd所成地角为60°，在四边形abcd中，∠d＝∠dab＝90°，ab＝4，cd＝1，ad＝2.
1>建立适当地坐标系，并写出点b，p地坐标；
2>求异面直线pa与bc所成角地余弦值．
解(1>如图所示，以d为原点，射线da，dc，dp分别为x轴，y轴，z轴地正方向，建立空间直角坐标系d—xyz，∠d＝∠dab＝90°，ab＝4，cd＝1，ad＝2，a(2,0,0>，c(0,1,0>，b(2,4,0>．
由pd⊥面abcd得∠pad为pa与平面abcd所成地角．
∠pad＝60°.
在rt△pad中，由ad＝2，得pd＝2．
p(0,0,2>．
cos〈,〉
pa与bc所成角地余弦值为．
正方体abef－dce′f′中，m、n分别为ac、bf地中点(如图所示》，求平面mna与平面mnb所成二面角地余弦值．
解取mn地中点g，连结bg，设正方体棱长为1.
方法一∵△amn，△bmn为等腰三角形，ag⊥mn，bg⊥mn.
∠agb为二面角地平面角或其补角．
ag=bg=,设〈，〉
2＝2＋2·＋2，1＝(>2＋2××cosθ＋(2.
cosθ＝，故所求二面角地余弦值为．
方法二以b为坐标原点，ba，be，bc所在地直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系b－xyz
则m(，0，>，n (,0>，中点g(，，a(1,0,0>，b(0,0,0>，由方法一知∠agb为二面角地平面角或其补角．
＝(，cos<, 故所求二面角地余弦值为．
方法三建立如方法二地坐标系，即取n1＝(1,1,1>．
同理可求得平面bmn地法向量n2＝(1，－1，－1>．
cos〈n1，n2〉＝,故所求二面角地余弦值为。
知识点五用向量方法求空间地距离。
已知正方形abcd地边长为4，e、f分别是ab、ad地中点，gc⊥平面abcd，且gc＝2，求点b到平面efg地距离．
解。如图所示，以c为原点，cb、cd、cg所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系c－xyz.
由题意知c(0,0,0>，a(4,4,0>，b(4,0,0>，d(0,4,0>，e(4,2,0>，f(2,4,0>，g(0,0,2>．
(0,2,0>，＝2,4,0>，设向量 ⊥平面gef，垂足为m，则m、g、e、f四点共面，
故存在实数x，y，z，使 =x+y+z，即 =x<0，2，0）+y<2，4，0）+z<4，0，2）
<2y4z，2x+4y，2z）.
由bm⊥平面gef，得⊥,⊥于是·＝0，·＝0，即。
即，解得。＝(－2y－4z,2x＋4y,2z>＝
即点b到平面gef地距离为．
考题赏析。安徽高考》
如图所示，在四棱锥o—abcd中，底面abcd是边长为1地菱形，∠abc＝，oa⊥底面abcd，oa＝2，m为oa地中点．
1>求异面直线ab与md所成角地大小；
2>求点b到平面ocd地距离．
解作ap⊥cd于点p.如图，分别以ab、ap、ao所在直线为x、y、z轴建立平面直角坐标系．
a(0,0,0>，b(1,0,0>，p (0，，0>，d (－0>，o(0,0,2>，m(0,0,1>．
1>设ab与md所成角为θ，＝1,0,0>， 1>，cos =
ab与md所成角地大小为．
设平面ocd地法向量为n=(x,y,z>,则
n· =0， n·= 0.
得。取z=，解得n=(0,4,>.设点b到平面ocd地距离为d,则d为在向量n上地投影地绝对值。
=<1，0， 2），∴d＝,点b到平面ocd地距离为，1．已知a(1,0,0>、b(0,1,0>、c(0,0,1>，则平面abc地一个单位法向量是(>
a． (b． (
c． (d． (
答案d(－1,1,0>，是平面oac地一个法向量．
设平面abc地一个法向量为n＝(x，y，z>
令x＝1，则y＝1，z＝1
n＝(1,1,1>
单位法向量为：＝±
2．已知正方体abcd—a1b1c1d1，e、f分别是正方形a1b1c1d1和add1a1地中心，则ef和cd所成地角是(>
a．60°b．45°
c．30°d．90°
答案b3．设l1地方向向量a＝(1,2，－2>，l2地方向向量b＝(－2,3，m>，若l1⊥l2，则m＝(>
a．1b．2c．d．3
答案b解读因l1⊥l2，所以a·b＝0，则有1×(－2>＋2×3＋(－2>×m＝0，2m＝6－2＝4，即m＝2.
4．若两个不同平面α，β地法向量分别为u＝(1,2，－1>，v＝(－3，－6,3>，则(>
a．α∥b．α⊥
c．α，相交但不垂直d．以上均不正确。
答案a解读因v＝－3u，∴v∥u.
故α∥β5．已知a、b是异面直线，a、b∈a，c、d∈b，ac⊥b，bd⊥b，且ab＝2，cd＝1，则a与b所成地角是(>
a．30°b．45°c．60°d．90°
答案c解读设〈，〉2=1， cosθ=,所以θ=60°
6．若异面直线l1、l2地方向向量分别是a＝(0，－2，－1>，b＝(2,0,4>，则异面直线l1与l2地夹角地余弦值等于(>
a．b．c．－d．
答案b解读设异面直线l1与l2地夹角为θ，则cosθ＝
7．已知向量n＝(6,3,4>和直线l垂直，点a(2,0,2>在直线l上，则点p(－4,0,2>到直线l地距离为___
答案，解读 =<6，0，0），因为点a在直线l上， n与l垂直，所以点p到直线l地距离为。
8．平面α地法向量为(1,0，－1>，平面β地法向量为(0，－1,1>，则平面α与平面β所成二面角地大小为___
答案或，解读设n1＝(1,0，－1>，n2＝(0，－1,1>
则cos〈n1，n2〉＝
n1，n2〉＝．因平面α与平面β所成地角与〈n1，n2〉相等或互补，所以α与β所成地角为或．
第3章空间向量与立体几何
南京外国语学校陈光立。目标定位 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数 几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景 空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角 空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具 这些也为进一步学习向量和研究向量奠定一...
第3章空间向量与立体几何3 2立体几何中的向量方法 2
3.2 立体几何中的向量方法。知识点一用向量方法判定线面位置关系。1 设a b分别是l1 l2的方向向量，判断l1 l2的位置关系 a 2,3，1 b 6，9,3 a 5,0,2 b 0,4,0 2 设u v分别是平面 的法向量，判断 的位置关系 u 1，1,2 v 3,2，u 0,3,0 v 0，...
第8章立体几何与空间向量
31 2006.17 如图，在四棱锥p abcd中，底面abcd为直角梯形，ad bc，bad 90 pa 底面abcd，且pa ad ab 2bc，m n分别为pc pb的中点。求证 pb dm 求bd与平面admn所成的角。32 2015.17 如图，在三棱柱 中，在底面的射影为的中点，为的中点...