第3章空间向量与立体几何

南京外国语学校陈光立。

目标定位：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角．空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具．这些也为进一步学习向量和研究向量奠定一定的基础．这部分内容的教育价值主要体现在以下几个方面．

1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积来判断向量的共线与垂直．

2．理解直线的方向向量与平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．

3．通过本章的学习，使学生了解到数学和现实世界的深刻联系，领悟数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量，初步体会几何学不只是一个数学分支，而且是一种思维方式，它已滲透到数学的各个领域．

教材解读：1．本章是在数学4“平面向量”的基础上展开的，内容包括空间向量的基本概念和运算，以及用空间向量解决直线、平面位置关系的问题等内容．通过本章的学习，要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用，并进一步培养学生的空间想象力．

本章充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，引导学生将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关内容相互沟通，又使学生学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，促使他们体会数学探索活动的基本规律，提高他们对向量的整体认识水平．空间向量的概念、运算、正交分解、坐标表示以及用空间向量表示空间中的几何元素等，都是通过与平面向量的类比完成的．学生可以从中体验数学在结构上的和谐性，同时也感悟到推广过程中因维数增加所带来的影响．在内容叙述过程中，通过“旁白”、“思考”、“实验”、“链接”和习题中的“思考·运用”、“**·拓展”等为学生提供了较大的思维空间．

2．《普通高中数学课程标准》对立体几何的定位主要作了三个方面的调整：强调把握图形能力的培养，强调空间想象与几何直观能力的培养，强调逻辑思维能力的培养．英国著名数学家m.阿蒂亚说过：

“几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即‘洞察’与‘严格’，两者在真正的数学研究中起着本质的作用．”

在数学2“立体几何初步”中，教科书遵循从整体到局部、具体到抽象的原则，直观认识和理解空间图形的性质；以长方体为载体，直观认识和理解体会空间的点、线、面之间的位置关系，抽象出空间线、面的位置关系的定义，探索空间几何图形及其性质，其中只对性质定理加以逻辑证明．本章我们将用向量的方法对有关的判定定理加以严格的证明，有助于培养和发展学生推理论证能力、合情推理能力、逻辑思维能力和运用向量语言进行表达与交流的能力．

3．为避免与数学2“立体几何初步”的简单重复，本章在空间向量应用这一部分，没有按直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系来编写．而采用：先讲清直线的方向向量与平面的法向量两个基本概念，然后从线面关系（包括直线与直线、直线与平面、平面与平面）的判定，空间角（包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角、平面与平面所成的角）的计算两个方面研究空间向量在立体几何中的应用，侧重于应用向量解决立体几何问题的思想方法，而不在于简单地用空间向量把立体几何的有关概念、判定和性质复述一遍．数学2的安排是横向的：空间线线关系，空间线面关系，空间面面关系；本章的安排是纵向的：

直线的方向向量与平面的法向量，线面关系的判定，空间角的计算．这样既使学生自觉地回顾立体几何的基础知识，同时又使学生学会用向量处理问题的思想方法．

4．本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想．根据问题的特点，以适当的方式（例如构建向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系；然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直、角和距离等）；最后对运算结果的几何意义做出解释，从而解决立体几何的问题．

空间向量的引入为处理立体几何中的推理论证及计算问题提供了新视角．向量几何为立体几何中的证明、计算提供了现成的、规范的通性通法．一般地，建立了坐标系便可以着手计算，由计算结果得出几何结论，大大减弱了推理论证的成分，可以避免有一定难度的构作辅助平面等过程．这种向量方法在今后的学习中有着广泛的应用．

教科书还通过例题，引导学生对解决立体几何问题的三种方法（向量方法、坐标法、综合法）进行比较，分析各自的优势，因题而宜做出适当的选择，从而提高综合运用数学知识解决问题的能力．

教学方法与教学建议：

1．空间向量及其运算，要求让学生经历由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题．同时，在这个过程中，也让学生享受一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质，注意空间向量与平面向量的区别和联系．教学中，要引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养．

2．掌握空间向量的基本概念及其性质是这部分内容的基础知识，是后续学习的前提．在向量运算的教学过程中，注意引导学生思考向量运算与实数运算的联系与区别．特别是当学生利用向量运算解决了立体几何中的问题时（如证明直线与平面垂直的判定定理），就更有助于学生体会数**算的意义，感悟运算、推理在探索和发现中的作用．体会数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量．

3．任意两个空间向量都可以“平移”到同一平面内，也就是说，它们可以用同一平面内的两条有向线段来表示．这样，凡涉及两个空间向量的运算和位置关系问题，就可以转化为平面向量来解决．因此，空间向量的线性运算及其性质、空间向量的数量积、空间向量的共线和垂直的条件等，与平面向量是完全一样的．在上述相关内容的教学时，应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质．

4．在空间向量的应用中，介绍了直线的方向向量和平面法向量的概念，这两个概念的引入使得线线、线面、面面关系可以用简洁的向量语言表述，有关位置的证明及空间角、距离的计算最终都可化为这两种向量的运算．加强对直线的方向向量和平面的法向量的教学．

5．利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系．在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法、坐标法与综合法，从不同角度解决立体几何问题．

第3章空间向量与立体几何

第3章空间向量与立体几何3 2立体几何中的向量方法

第3章空间向量与立体几何3 2立体几何中的向量方法 2

第8章立体几何与空间向量

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