§3.2 立体几何中的向量方法。
知识点一用向量方法判定线面位置关系。
(1)设a、b分别是l1、l2的方向向量，判断l1、l2的位置关系：
a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)．
a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．
2)设u、v分别是平面α、β的法向量，判断α、β的位置关系：
u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)．
u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．
3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α的位置关系．
u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)．
u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．
解 (1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.
∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)，u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α
∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－v，∴u∥v，∴α
3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，∴lα或l∥α.
∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，u＝－a，∴u∥a，∴l⊥α.
知识点二利用向量方法证明平行问题。
如图所示，在正方体abcd－a1b1c1d1
中，m、n分别是c1c、b1c1的中点．求证：mn∥平面a1bd.
证明方法一如图所示，以d为原点，da、dc、dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得。
m (0,1，)，n (,1,1)，d(0,0,0)，a1(1,0,1)，b(1,1,0)，于是 =（0，），
设平面a1bd的法向量是
n=（x，y，z）.
n＝(x，y，z)．
则n·＝0，得。
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．
又 ·n＝ (0，)·1，－1，－1)＝0，方法二 ∵
∥，又∵mn平面a1bd.
mn∥平面a1bd.
知识点三利用向量方法证明垂直问题。
在正棱锥p—abc中，三条侧棱两两互相垂直，g是△pab的重心，e、f分别为bc、pb上的点，且be∶ec＝pf∶fb＝1∶2.
1)求证：平面gef⊥平面pbc；
2)求证：eg是pg与bc的公垂线段．
证明 (1)方法一
如图所示，以三棱锥的顶点p为原点，以pa、pb、pc所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
令pa＝pb＝pc＝3，则。
a(3,0,0)、b(0,3,0)、c(0,0,3)、e(0,2,1)、f(0,1,0)、g(1,1,0)、p(0,0,0)．
于是 ＝(3,0,0)，＝3,0,0)，故 ＝3，∴pa∥fg.
而pa⊥平面pbc，∴fg⊥平面pbc，又fg平面efg，∴平面efg⊥平面pbc.
方法二同方法一，建立空间直角坐标系，则。
e(0,2,1)、f(0,1,0)、g(1,1,0)．
(0，－1，－1)，＝0，－1，－1)，设平面efg的法向量是n＝(x，y，z)，则有n⊥，n⊥，令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0,1，－1)．
而显然=（3，0，0）是平面pbc的一个法向量。
这样n· =0,∴n⊥
即平面pbc的法向量与平面efg的法向量互相垂直，平面efg⊥平面pbc.
eg⊥pg，eg⊥bc，
eg是pg与bc的公垂线段。
知识点四利用向量方法求角。
四棱锥p—abcd中，pd⊥平面abcd，pa与平面abcd所成的角为60°，在四边形abcd中，∠d＝∠dab＝90°，ab＝4，cd＝1，ad＝2.
1)建立适当的坐标系，并写出点b，p的坐标；
2)求异面直线pa与bc所成角的余弦值．
解 (1)如图所示，以d为原点，射线da，dc，dp分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系d—xyz，∠d＝∠dab＝90°，ab＝4，cd＝1，ad＝2，a(2,0,0)，c(0,1,0)，b(2,4,0)．
由pd⊥面abcd得∠pad为pa与平面abcd所成的角．
∠pad＝60°.
在rt△pad中，由ad＝2，得pd＝2．
p(0,0,2)．
cos〈,〉
pa与bc所成角的余弦值为．
正方体abef－dce′f′中，m、n分别为ac、bf的中点(如图所示)，求平面mna与平面mnb所成二面角的余弦值．
解取mn的中点g，连结bg，设正方体棱长为1.
方法一 ∵△amn，△bmn为等腰三角形，ag⊥mn，bg⊥mn.
∠agb为二面角的平面角或其补角．
ag=bg=,设〈，〉
2＝2＋2·＋2，1＝()2＋2××cosθ＋(2.
cosθ＝，故所求二面角的余弦值为．
方法二以b为坐标原点，ba，be，bc所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系b－xyz
则m(，0， )n (,0)，中点g(，，a(1,0,0)，b(0,0,0)，由方法一知∠agb为二面角的平面角或其补角．
cos<, 故所求二面角的余弦值为．
方法三建立如方法二的坐标系，即取n1＝(1,1,1)．
同理可求得平面bmn的法向量n2＝(1，－1，－1)．
cos〈n1，n2〉＝,故所求二面角的余弦值为。
知识点五用向量方法求空间的距离。
已知正方形abcd的边长为4，e、f分别是ab、ad的中点，gc⊥平面abcd，且gc＝2，求点b到平面efg的距离．
解 如图所示，以c为原点，cb、cd、cg所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系c－xyz.
由题意知c(0,0,0)，a(4,4,0)，b(4,0,0)，d(0,4,0)，e(4,2,0)，f(2,4,0)，g(0,0,2)．
(0,2,0)，＝2,4,0)，设向量 ⊥平面gef，垂足为m，则m、g、e、f四点共面，
故存在实数x，y，z，使 = x + y + z，即 = x（0，2，0）+y（2，4，0）+z（4，0，2）
（2y4z，2x+4y，2z）.
由bm⊥平面gef，得⊥,⊥于是·＝0，·＝0，即。
即，解得 ＝(－2y－4z,2x＋4y,2z)＝
即点b到平面gef的距离为．
考题赏析。安徽高考)
如图所示，在四棱锥o—abcd中，底面abcd是边长为1的菱形，∠abc＝，oa⊥底面abcd，oa＝2，m为oa的中点．
1)求异面直线ab与md所成角的大小；
2)求点b到平面ocd的距离．
解作ap⊥cd于点p.如图，分别以ab、ap、ao所在直线为x、y、z轴建立平面直角坐标系．
a(0,0,0)，b(1,0,0)，p (0，，0)，d (－0)，o(0,0,2)，m(0,0,1)．
1)设ab与md所成角为θ，＝1,0,0)， 1)，cos =
ab与md所成角的大小为．
设平面ocd的法向量为n = x, y , z ),则
n· =0， n· =0.
得。取z=，解得n = 0,4, )设点b到平面ocd的距离为d,则d为在向量n上的投影的绝对值。
=（1，0， 2），∴d＝,点b到平面ocd的距离为，1．已知a(1,0,0)、b(0,1,0)、c(0,0,1)，则平面abc的一个单位法向量是( )
ab． (cd． (
答案 d(－1,1,0)，是平面oac的一个法向量．
第3章空间向量与立体几何
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