选修2-1第三章《空间向量与立体几何》训练卷。
班别姓名成绩。
1．已知向量，且，则的值是（ ）
a） （b） （c） （d）
2．已知向量，若向量与向量互相垂直，则的值是（ ）
a） （b） （c） （d）
3．下面命题正确的个数是（ ）
若，则与、共面； ②若，则m、p、a、b共面；
若，则a、b、c、d共面；
若，则p、a、b、c共面；
a）1 （b）2 （c）3 （d）4
4．已知，，，点q在直线op上运动，则当。
取得最小值时，点q的坐标为（ ）
a） （b） （c） （d）
5．如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
③三棱锥是正三棱锥；
④平面的法向量和平面的法向量互相垂直。
其中正确的是（ ）
（abcd）①④
6．已知＝（2，－1，3），＝1，4，－2），＝7，5，λ）若、、三向量共面，则实数λ等于（ ）
abc） （d）
7．正方体的棱长为，是的中点，则到平面的距离a） （b） （c） （d）
8. 如图，正方体，则下列四个命题：
在直线上运动时，三棱锥的体积不变；②在直线上运动时，直线ap与平面acd1所成角的大小不变；③在直线上运动时，二面角的大小不变；
m是平面上到点d和距离相等的点，则m点的轨迹是过点的直线。
其中真命题的编号是（ ）
a）①③b）③④c）①③d）①②
9. 已知空间三点， 在直线上有一点满足，则点的坐标为。
10. 如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是。
11. 如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为cm3．
12. 若，，则以为邻边的平行四边形的面积为。
13. 如图，是边长为的菱形，且，为正三角形，且面⊥面，1)求的值；
2)若为的中点，为的中点，求的值；
3)求二面角的大小。
14. 正方体的棱长为，且与交于点，为棱中点，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，1)求证：平面；
2)若点在上且，试求点的坐标；
3)求二面角的正弦值。
15. 如图，已知正三棱柱的底面边长为，对角线，为的中点，1)求证：平面；
2)求异面直线与所成的角的余弦值；
3)求直线与平面所成的角的正弦值。
16. 直三棱柱的侧棱，底面中，，，求直线与平面所成的角的正弦值；②求二面角的余弦值；③求点到平面的距离。
17. 如图，在四棱锥p—abcd中，底面abcd为矩形，侧棱pa⊥底面abcd，ab=，bc=1，pa=2，e为pd的中点，(1)求直线ac与pb所成角的余弦值；
2)在侧面pab内找一点n，使ne⊥面pac，并求出n点到ab和ap的距离。
18. 如图，、为圆柱的母线，是底面圆的直径，、分别是、的中点，．
1)证明：；
2)求四棱锥与圆柱的体积比；
3)若，求与面所成角的正弦值。
选修2-1第三章《空间向量与立体几何》训练卷参***。
1-8．bdca bdda 9.； 10.； 11.； 12. ；
13.解：（1）选取中点为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，……2分， …3分。
则==.4分。
2）∵分别为、的中点，∴
则=.…7分。
设平面的法向量为，则。
可设，则 ……10分。
依题意可知平面的法向量为， ∴11分。
易知：平面与平面所成的角为锐角。
二面角的大小为。 …12分。
14.解：（1）证明：由题设知各点坐标为1分。
是正方形的中心，∴
……3分
即，平面 ……4分。
2）由点在上，根据空间向量知识，可设点的坐标为，……5分。
则 ……6分。
7分。 即 ……8分。
3）由（1）知平面， 是平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，则。
令，则。……9分。
设二面角为，依题意，如图可知为锐角，所以二面角的余弦值为 ……10分。
……11分。
故二面角的正弦值为。 …12分。
15.解：以点为原点，为轴，为轴，如图建立空间。
直角坐标系，则，…2分。
1）设平面的法向量为，则，可设，则，……5分。
即。平面； …7分。
异面直线与所成的角的余弦值为；……10分。
（3）设直线与平面所成的角为，根据直线与平面所成角公式有： …13分。
直线与平面所成的角的正弦值为。……14分。
16.解：以为原点如图所示建立空间直角坐标系，由已知可得。
直棱柱各顶点坐标如下：
故， …2分。
设直线与平面所成角，则 ……4分。
所以直线与平面所成的角的正弦值为 ……5分。
设平面法向量为，则。
可设，则， …7分。
……9分。依题意，如图可知平面与平面所成的角为锐角，所以二面角的余弦值为 ……10分。
设平面的法向量为，则。
可设，则， …12分。
所以点到平面的距离为。……14分。
17. 解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则a、b、c、d、p、e的坐标为a（0，0，0）、
b（，0，0）、c（，1，0）、d（0，1，0）、
p（0，0，2）、e（0，，1）， 2分。
从而 ……3分。
设的夹角为θ，则 ……6分。
ac与pb所成角的余弦值为。 …7分。
（2）由于n点在侧面pab内，故可设n点坐标为（x，o，z），则，由ne⊥面pac可得， …9分。
……12分。
即n点的坐标为，从而n点到ab、ap的距离分别为1，.…14分。
18. 解：（1）证明：连结，.分别为的中点，∴.2分。
又，且。∴四边形是平行四边形，即。……3分4分。
2）由题，且由（1）知。∴，6分。
因是底面圆的直径，得，且，，即为四棱锥的高． …7分。
设圆柱高为，底半径为，则，
： .9分。
3）由(1)(2)可知，可分别以为坐标轴建立空间直。
角标系，设，则，从而，由题，是面的法向量，设所求的角为。…12分。
则。 与面所成角的正弦值为……14分。
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