高二数学《空间向量与立体几何》复习案(理科)
1、空间向量及其运算。
1、若,均为单位向量,且,则=(
a. b. c. d.4
2、已知a(1,-1,2),b(5,-6,2),c(1,3,-1),则△abc中,ac边上的高bd为( )
a.5 b. c.4 d.
3、已知,,则以、为邻边的平行四边形的面积为( )
a. b. c.4 d.
4、若点关于轴的对称点是,则的值依次是( )
a. b. c. d.
5、正四面体a-bcd中,e,f分别为棱ad,bc的中点,则异面直线af,ce所成角的余弦值为( )
a. b. c. d.
6、直线,的方向向量分别是,平面的法向量是(1)若直线⊥,则= ;2)若直线⊥平面,则= 。
7、已知(2,-1,3),=1,4,-2),=7,5,),若,,三向量共面,则实数的值为。
8、已知向量,则与的夹角为。
9、若(2,,)0,,0),则= .
10、空间四边形中,、分别是与的重心,设,,,试用、、表示下列向量:
2、空间向量在立体几何中的应用。
1、求平面法向量的方法:设,是平面内任意两个不共线的向量,则平面的法向量满足:。
2、求直线:的方向向量的方法:
1), 为直线上不同的两点。
2),为直线的斜率。 (3)(b,-a)。
4)单位方向向量,为直线的斜率。
一)利用空间向量平行也垂直问题。
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置关系,所以可以利用直线的。
方向向量和平面的法向量表示空间直线、平面的平行、垂直、夹角等位置关系。
例1:棱长为a的正方体abcd—a1b1c1d1中,在棱dd1上是否存在点p使b1d⊥面pac?
例2 .如图,已知矩形和矩形所在平面互相垂直,点。
分别在对角线上,且,求证:平面。
二)用向量法求空间的角。
1.求异面直线所成的角。
设l1与l2是两异面直线,a、b分别为l1、l2的方向向量,l1、l2所成的。
角为θ,则〈a,b〉与θ相等或互补,则。
2. 求直线与平面所成的角。
如图,设l为平面的斜线,,a为的方向向量,n为平面的法向量,为l与平面所成的角,则。
3、求二面角。
平面与相交于直线l,平面的法向量为n1,平面的法向量为n2,< n1,n2>=,则二面角为或。 设二面角的大小为,则。
例3.(湖北高考)如图1,,,过动点a作,垂足d**段bc上且异于点b,连接ab,沿将△折起,使
1)当的长为多少时,三棱锥的体积最大;
2)当三棱锥的体积最大时,设点,分别为棱,的中点,试在棱上确定一点,使得,并求与平面所成角的大小.
例4.如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,设、分别为、的中点.
ⅰ) 求证: /平面;
ⅱ) 求证:面平面;
ⅲ) 求二面角的正切值.
三)用向量法求空间距离。
1、求点到平面的距离。
例5.如图所示,已知点,平面内一点,平面的一个法向量n,直线与平面所成的角为,,则。 由数量积的定义知,n=|n|||所以点到平面的距离。
例2、如图5甲,四边形abcd中,e是bc的中点,db =2, dc=1,bc=,ab =ad=.将(图甲)沿直线bd折起,使二面角a - bd -c为60o(如图乙).
1)求证:ae⊥平面bdc ;(2)求点b到平面acd的距离.
空间向量与立体几何复习
学情分析 学生能用向量计算空间角 空间距离。但有时建立的坐标系并非直角。由于法向量的方向有两个,导致计算的角的大小与实际情况不一致,不善于取舍 修正。教学目标 1 知识目标 运用空间向量计算空间角及空间距离计算。适当运用传统方法。2 过程与方法目标 总结归纳,讲练结合,以练为主。3 情感与能力目标 ...
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