高二数学《空间向量与立体几何》复习案（理科）
1、空间向量及其运算。
1、若，均为单位向量，且，则＝（
a． b． c． d．4
2、已知a（1，－1，2），b（5，－6，2），c（1，3，－1），则△abc中，ac边上的高bd为（ ）
a．5 b． c．4 d．
3、已知，，则以、为邻边的平行四边形的面积为（ ）
a． b． c．4 d．
4、若点关于轴的对称点是，则的值依次是（ ）
a． b． c． d．
5、正四面体a－bcd中，e，f分别为棱ad，bc的中点，则异面直线af，ce所成角的余弦值为（ ）
a． b． c． d．
6、直线，的方向向量分别是，平面的法向量是（1）若直线⊥，则= ；2）若直线⊥平面，则= 。
7、已知（2，－1，3），=1，4，－2），=7，5，），若，，三向量共面，则实数的值为。
8、已知向量，则与的夹角为。
9、若（2，，）0，，0），则＝ ．
10、空间四边形中，、分别是与的重心，设，，，试用、、表示下列向量：
2、空间向量在立体几何中的应用。
1、求平面法向量的方法：设，是平面内任意两个不共线的向量，则平面的法向量满足：。
2、求直线：的方向向量的方法：
1）， 为直线上不同的两点。
2），为直线的斜率。 （3）（b，－a）。
4）单位方向向量，为直线的斜率。
一）利用空间向量平行也垂直问题。
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置关系，所以可以利用直线的。
方向向量和平面的法向量表示空间直线、平面的平行、垂直、夹角等位置关系。
例1：棱长为a的正方体abcd—a1b1c1d1中，在棱dd1上是否存在点p使b1d⊥面pac？
例2 .如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点。
分别在对角线上，且，求证：平面。
二）用向量法求空间的角。
1．求异面直线所成的角。
设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的。
角为θ，则〈a，b〉与θ相等或互补，则。
2. 求直线与平面所成的角。
如图，设l为平面的斜线，，a为的方向向量，n为平面的法向量，为l与平面所成的角，则。
3、求二面角。
平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，< n1，n2>=，则二面角为或。 设二面角的大小为，则。
例3.（湖北高考）如图1，，，过动点a作，垂足d**段bc上且异于点b，连接ab，沿将△折起，使
1）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；
2）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．
例4.如图在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设、分别为、的中点．
ⅰ) 求证： /平面；
ⅱ) 求证：面平面；
ⅲ) 求二面角的正切值．
三）用向量法求空间距离。
1、求点到平面的距离。
例5.如图所示，已知点，平面内一点，平面的一个法向量n，直线与平面所成的角为，，则。 由数量积的定义知，n=|n|||所以点到平面的距离。
例2、如图5甲，四边形abcd中，e是bc的中点，db =2, dc=1，bc=，ab =ad=．将（图甲）沿直线bd折起，使二面角a － bd －c为60o（如图乙）．
1）求证：ae⊥平面bdc ；（2）求点b到平面acd的距离．
空间向量与立体几何复习
学情分析 学生能用向量计算空间角 空间距离。但有时建立的坐标系并非直角。由于法向量的方向有两个，导致计算的角的大小与实际情况不一致，不善于取舍 修正。教学目标 1 知识目标 运用空间向量计算空间角及空间距离计算。适当运用传统方法。2 过程与方法目标 总结归纳，讲练结合，以练为主。3 情感与能力目标 ...
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