第五讲空间向量与立体几何（2012-2-4）
利用空间向量证明空间中线面关系，计算空间的各种角是高考对立体几何的常规考法．它以代数运算代替复杂的空间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活的方法．另外，空间向量还可以用来解决许多探索性问题，这类问题具有一定的思维深度，更能考查学生的能力，因此正逐渐成为高考命题的热点题型．
一、 空间向量的基本概念：
1、空间向量的数量积：
2、两个重要的向量：
1)直线的方向向量。
直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有。
个．2)平面的法向量。
直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有个，它们是共线向量．
3．利用空间向量求空间角。
1)求两条异面直线所成的角。
2)求直线与平面所成的角。
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ.
则sinθ＝|cos〈a，n
3）求二面角的大小：
二、 点题热身：
1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则 (
a．l1∥l2b．l1⊥l2
c．l1与l2相交但不垂直d．以上均不正确。
2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为。
a．45b．135°
c．45°或135d．90°
3、正方体abcd－a1b1c1d1中，直线bc1与平面a1bd所成角。
的余弦值为___
4、如图，已知直三棱柱abc－a1b1c1 中，ac⊥bc，d为ab的中点，ac＝bc＝bb1.
1)求证：bc1⊥ab1；
2)求证：bc1∥平面ca1d.
三、典例精析：
例1 利用空间向量证明平行、垂直关系。
如图所示，在四棱锥p－abcd中， pc⊥平面abcd，pc＝2，在四边形abcd中， ∠b＝∠c＝90°，ab＝4，cd＝1，点m在pb上，pb＝4pm，pb与平面abcd成30°的角．
1)求证：cm∥平面pad；
2)求证：平面pab⊥平面pad.
例2 利用空间向量求空间角。
2010·天津高考)如图，在长方体abcd－a1b1c1d1中，e、f分别是棱bc，cc1上的点，cf＝ab＝2ce，ab∶ad∶aa1＝1∶2∶4.
1)求异面直线ef与a1d所成角的余弦值；
2)证明af⊥平面a1ed；
3)求二面角a1－ed－f的正弦值．
例3 利用空间向量解决存在性问题。
如图所示，在正方体abcd－a1b1c1d1中，e是棱dd1的中点．
1)求直线be和平面abb1a1所成的角的正弦值；
2)在棱c1d1上是否存在一点f，使b1f∥平面a1be？证明你的结论．
《空间向量与立体几何
高二 2 部数学 空间向量与立体几何 单元测试卷二。班级 姓名 一 选择题 每小题5分，共60分 1.如图，在平行六面体abcd a1b1c1d1中，m为ac与bd的交点。若 a，b，c，则下列向量中与相等的向量是。a.a b cb.a b c c.a b cd.a b c 2.下列等式中，使点m与...
空间向量与立体几何
空间向量与立体几何 1 2010 7 20 命题人 朱老师学号姓名 一 选择题 每小题 分，共50分 1.已知向量，且与互相垂直，则的值是。a.1 b.c.d.2.已知a 2，1，3 b 4，x，2 且a b，则x的值是。3.已知向量，若，则的值是。a.或 b.3或c.d.4.如图，长方体abcd ...
空间向量与立体几何
高二 2 部数学 空间向量与立体几何 单元测试卷一。班级 姓名 一 选择题 每小题5分，共60分 1 在正三棱柱abc a1b1c1中，若ab bb1，则ab1与c1b所成的角的大小为 a 60 b 90 c 105 d 75 2 如图，abcd a1b1c1d1是正方体，b1e1 d1f1 则be...