空间向量与立体几何。
在立体几何中引入向量之前，求角与距离是一个难点，在新课标中，从向量的角度来研究空间的点、线、面的关系，我们只要通过两个向量的数量积运算、运用向量的模、平面的法向量就可以解决常见的角与距离的问题。而且，运用向量来解题思路简单、步骤清楚，对学生来说轻松了很多。
重点：用空间向量数量积及夹角公式求异面直线所成角。
难点：建立恰当的空间直角坐标系。
关键：几何问题转换为代数问题及正确写出空间向量的坐标以及坐标运算。
、空间直角坐标系的建立。
空间向量的数量积公式（两种形式）、夹角公式和空间向量的数量积的几何性质。
1． 向量的数量积公式（包括向量的夹角公式）:
若与的夹角为θ(0≤θ≤且=,=则。
·=|cosθ 或·= x1x2+y1y2+z1z2
若与非零向量 cosθ =
2． 向量的数量积的几何性质：
两个非零向量与垂直的充要条件是·=0
两个非零向量与平行的充要条件是·=±
1、利用向量处理平行与垂直问题。
例1、 在直三棱柱中，, 是得中点。求证：
问题1：此题在立体几何中我们应该如何解决？
（通过线面垂直解决）
问题2：利用空间向量求解，对几何体如何处理？
求向量da1与ac1的数量积，当然应先建立空间直角坐标系）
问题3：如何建立空间直角坐标系？并说明理由。
（以ca为x轴，以cb为y轴，以cc1为z轴）
问题4：建立空间直角坐标系后，各相关点的坐标是多少？
（请学生个别回答）
证明：如图，建立空间坐标系。
练习1、在正方体中，e,f分别是bb1,,cd中点，求证：d1f平面ade
证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系d-xyz
因为。所以。
所以平面。二、利用空间向量求空间的角的问题。
1.异面直线所成角通过求空间向量的夹角，得出异面直线的所成角。
方法在直线上取两点a、b，在直线上取两点c、d，若直线与的夹角为，则。
注意，由于两向量的夹角范围为，而异面直线所成角的范围为，若两向量夹角为钝角，转化到异面直线夹角时为180°
2.线面角。
方法引导可转化成用向量与平面的法向量的夹角表示，由向量平移得：若时（图）；若时（图）.
平面的法向量是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具。由可知，要求得法向量，只需在平面上找出两个不共线向量、，最后通过解方程组得到。
例1 在正方体中，e1，f1分别在a1b1,,c1d1上，且e1b1=a1b1，d1f1=d1c1，求be1与df1所成的角的大小。
解：设正方体棱长为4，以为正交基底，建立如图所示空间坐标系， ＝15
例2 在正方体中， f分别是bc的中点，点e在d1c1上，且d1c1,试求直线e1f与平面d1ac所成角的大小。
解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系d-xyz
为d1ac平面的法向量，
所以直线e1f与平面d1ac所成角的正弦值为。
3求二面角角。
方法已知二面角α—l—β，分别是平面α和平面β的一个法向量，设二面角α—l—β的大小为θ，规定0≤θ≤则（这里若平面α的法向量是二面角的内部指向平面α内的一点，则平面β的法向量必须是由平面β内的一点指向二面角的内部，如图2-1，否则从二面角内部一点出发向两个半平面作法向量时，二面角，如图2-2）
二面角的大小（如右图），也可用两个向量。
所成的夹角表示，在、上分别作棱的垂线、
、），从图中可知：等于、所成的角。）
例3 在正方体中，求二面角的大小。
解： 求出平面与平面的法向量。
例4 已知e,f分别是正方体的棱bc和cd的中点，求：
1）a1d与ef所成角的大小；
2）a1f与平面b1eb所成角的大小；
3）二面角的大小。
解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系d-xyz
a1d与ef所成角是。
二面角的正弦值为。
3、利用空间向量求空间的距离的问题。
点到平面的距离。
先设平面的斜线为，再求的法向量，运用向量平移，不难得到推论“等于在法向量上的射影的绝对值”，即，最后由此算出所求距离。
例5 直三棱柱abc-a1b1c1的侧棱aa1=，底面δabc中，∠c=90°，ac=bc=1，求点b1到平面a1bc的距离。
解：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：
a（1,0,0），b（0,1,0），c（0,0,0）a1（1,0,），b1（0,1,），c1（0,0,）
设平面a1bc的一个法向量为，则。
即。所以，点b1到平面a1bc的距离。
2024年高考全国新课标卷理科18)
如图，四棱锥p—abcd中，底面abcd为平行四。
边形，∠dab=60°,ab=2ad,pd⊥底面abcd.
ⅰ)证明：pa⊥bd；
ⅱ)若pd=ad，求二面角a-pb-c的余弦值。
分析：（1）要证明线线垂直只要证明线面垂直或者用向量去证明；（2）求二面角的余弦只需建立适当的坐标系，有空间向量来完成。
解：(1)证明：在三角形abd中，因为该三角形为直角三角形，所以。
2）建立如图的坐标系，设点的坐标分别是。
则，设平面pab的法向量为，所以， 取得，同理设平面pbc的法向量为，取得，于是，，因此二面角的余弦值是。
空间向量与立体几何考点系统复习
一 利用向量处理平行与垂直问题 特别是探索性问题 例1 在直三棱柱中，是得中点。求证 练习 棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1中，在棱dd1上是否存在点p使b1d 面pac？例2 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且，求证 平面。练习1 在正方体中，e,f分别是bb1,...
空间向量与立体几何复习
学情分析 学生能用向量计算空间角 空间距离。但有时建立的坐标系并非直角。由于法向量的方向有两个，导致计算的角的大小与实际情况不一致，不善于取舍 修正。教学目标 1 知识目标 运用空间向量计算空间角及空间距离计算。适当运用传统方法。2 过程与方法目标 总结归纳，讲练结合，以练为主。3 情感与能力目标 ...
《空间向量与立体几何
高二 2 部数学 空间向量与立体几何 单元测试卷二。班级 姓名 一 选择题 每小题5分，共60分 1.如图，在平行六面体abcd a1b1c1d1中，m为ac与bd的交点。若 a，b，c，则下列向量中与相等的向量是。a.a b cb.a b c c.a b cd.a b c 2.下列等式中，使点m与...