一、利用向量处理平行与垂直问题（特别是探索性问题）
例1、 在直三棱柱中，, 是得中点。求证：
练习：棱长为a的正方体abcd—a1b1c1d1中，在棱dd1上是否存在点p使b1d⊥面pac？
例2 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且，求证：平面。
练习1、在正方体中，e,f分别是bb1,,cd中点，求证：d1f平面ade
2、如图，在底面是菱形的四棱锥p—abcd中，，点e在pd上，且pe:ed= 2: 1.在棱pc上是否存在一点f, 使bf∥平面aec?证明你的结论。
二、利用空间向量求空间的角的问题。
例1 在正方体中，e1，f1分别在a1b1,,c1d1上，且e1b1=a1b1，d1f1=d1c1，求be1与df1所成的角的大小。
例2 在正方体中， f分别是bc的中点，点e在d1c1上，且d1c1,试求直线e1f与平面d1ac所成角的大小。
例3 在正方体中，求二面角的大小。
例4 已知e,f分别是正方体的棱bc和cd的中点，求：
1）a1d与ef所成角的大小；
2）a1f与平面b1eb所成角的大小；
3）二面角的大小。
三、利用空间向量求空间的距离的问题。
例1 直三棱柱abc-a1b1c1的侧棱aa1=，底面δabc中，∠c=90°，ac=bc=1，求点b1到平面a1bc的距离。
例2如图，四面体abcd中，o、e分别是bd、bc的中点，
i）求证：平面bcd；
（ii）求异面直线ab与cd所成角的大小；
iii）求点e到平面acd的距离。
例3如图，直二面角d-ab-e中，四边形abcd是边长为2的正方形，ae＝eb，f为ce上的点，且bf⊥平面ace．
ⅰ）求证：ae⊥平面bce；
ⅱ）求二面角b-ac-e的大小；
ⅲ）求点d到平面ace的距离。
一、利用向量处理平行与垂直问题（特别是探索性问题）
例1、 在直三棱柱中，, 是得中点。求证：
证明：如图，建立空间坐标系。
练习：棱长为a的正方体abcd—a1b1c1d1中，在棱dd1上是否存在点p使b1d⊥面pac？
解：以d为原点建立如图所示的坐标系，设存在点p（0，0，z），(a,0,z)， a,a,0)， a,a,a)，b1d⊥面pac，∴，
－a2+az=0∴z=a，即点p与d1重合。
点p与d1重合时，db1⊥面pac
例2 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且，求证：平面。
证明：建立如图所示空间坐标系，设ab,ad,af长分别为3a,3b,3c
又平面cde的一个法向量。由。得到。
因为mn不在平面cde内。
所以nm//平面cde
练习1、在正方体中，e,f分别是bb1,,cd中点，求证：d1f平面ade
证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系d-xyz
因为。所以。
所以平面。2、如图，在底面是菱形的四棱锥p—abcd中，，点e在pd上，且pe:ed= 2: 1.在棱pc上是否存在一点f, 使bf∥平面aec?证明你的结论。
解答：根据题设条件，结合图形容易得到：
假设存在点f
又， 则必存在实数使得，把以上向量得坐标形式代入得。
即有。所以，在棱pc存在点f，即pc中点，能够使bf∥平面aec。
二、利用空间向量求空间的角的问题。
例1 在正方体中，e1，f1分别在a1b1,,c1d1上，且e1b1=a1b1，d1f1=d1c1，求be1与df1所成的角的大小。
解：设正方体棱长为4，以为正交基底，建立如图所示空间坐标系， ＝15
例2 在正方体中， f分别是bc的中点，点e在d1c1上，且d1c1,试求直线e1f与平面d1ac所成角的大小。
解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系d-xyz
为d1ac平面的法向量，
所以直线e1f与平面d1ac所成角的正弦值为。
例3 在正方体中，求二面角的大小。
解： 求出平面与平面的法向量。
例4 已知e,f分别是正方体的棱bc和cd的中点，求：
1）a1d与ef所成角的大小；
2）a1f与平面b1eb所成角的大小；
3）二面角的大小。
解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系d-xyz
a1d与ef所成角是。
二面角的正弦值为。
三、利用空间向量求空间的距离的问题。
例1 直三棱柱abc-a1b1c1的侧棱aa1=，底面δabc中，∠c=90°，ac=bc=1，求点b1到平面a1bc的距离。
解1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：
a（1,0,0），b（0,1,0），c（0,0,0）a1（1,0,），b1（0,1,），c1（0,0,）
设平面a1bc的一个法向量为，则。
即。所以，点b1到平面a1bc的距离。
例2如图，四面体abcd中，o、e分别是bd、bc的中点，
i）求证：平面bcd；
（ii）求异面直线ab与cd所成角的大小；
iii）求点e到平面acd的距离。
解：（i）略。
ii）解：以o为原点，如图建立空间直角坐标系，则。
异面直线ab与cd所成角的大小为。
（iii）解：设平面acd的法向量为则。
令得是平面acd的一个法向量，又。
点e到平面acd的距离。
例3如图，直二面角d-ab-e中，四边形abcd是边长为2的正方形，ae＝eb，f为ce上的点，且bf⊥平面ace．
ⅰ）求证：ae⊥平面bce；
ⅱ）求二面角b-ac-e的大小；
ⅲ）求点d到平面ace的距离。
解（ⅰ）略。
ⅱ）以线段ab的中点为原点o，oe所在直线为x轴，ab所在直线为y轴，过o点平行于ad的直线为z轴，建立空间直角坐标系o—xyz，如图。
面bce，be面bce，在的中点，设平面aec的一个法向量为，则解得。
令得是平面aec的一个法向量。
又平面bac的一个法向量为，二面角b—ac—e的大小为。
iii）∵ad//z轴，ad=2，∴，点d到平面ace的距离。
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