时间：45分钟分值：100分。
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知＝(1,5，－2)，＝3,1，z)，若⊥，＝x－1，y，－3)，且bp⊥平面abc，则实数x，y，z分别为( )
a.，－4 b.，－4
c.，－2,4 d．4，，－15
解析：∵⊥0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又bp⊥平面abc，∴bp⊥ab，ap⊥bc，＝(3,1,4)，则解得。
答案：b2．在正方体abcd—a1b1c1d1中，m，n分别为棱aa1和bb1的中点，则sin〈，〉的值为( )
a. b.
c. d.
解析：设正方体棱长为2，以d为坐标原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，可知＝(2，－2,1)，＝2,2，－1)，cos〈，〉sin〈，〉
答案：b3．在正方体abcd—a1b1c1d1中，若e为a1c1中点，则直线ce垂直于( )
a．ac b．bd
c．a1d d．a1a
解析：以a为原点，ab、ad、aa1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则a(0,0,0)，c(1,1,0)，b(1,0,0)，d(0,1,0)，a1(0,0,1)，e，＝，1,1,0)，＝1,1,0)，＝0,1，－1)，＝0,0，－1)．显然·＝－0＝0，∴⊥即ce⊥bd.
答案：b4．已知长方体abcd—a1b1c1d1中，ab＝bc＝4，cc1＝2，则直线bc1和平面dbb1d1所成角的正弦值为( )
a. b.
c. d.
解析：如图建立空间直角坐标系，则b(4,0,0)，c(4,4,0)，c1(4,4,2)，显然ac⊥平面bb1d1d，＝(4,4,0)为平面bb1d1d的一个法向量．
又＝(0,4,2)，∴cos〈，〉即bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为。
答案：c5．在正方体abcd—a1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为( )
a. b.
c. d.
解析：以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz，设棱长为1，则a1(0,0,1)，e，d(0,1,0)，＝0,1，－1)，＝设平面a1ed的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则∴
n1＝(1,2,2)．∵平面abcd的一个法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝
即所成的锐二面角的余弦值为。
答案：b6．在正方体abcd—a′b′c′d′中，若点p(异于点b)是棱上一点，则满足bp与ac′所成的角为45°的点p的个数为( )
a．0 b．3
c．4 d．6
解析：设正方体的棱长为1，以点a′为坐标原点，分别以a′b′，a′d′，a′a为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则有点a(0,0,1)，c′(1,1,0)，b(1,0,1)，＝1,1，－1)．设**段ad上存在满足题意的点p(0，λ，1)，其中λ∈[0,1]，则有＝(－1，λ，0cos45°，即有1－λ＝没有实数解，即**段ad上不存在满足题意的点p.同理可确定在棱cc′，b′c′，c′d′上各存在一个满足题意的点p，在其余各棱上不存在满足题意的点p，综上所述，符合题意的点p有3个．
答案：b二、填空题(每小题5分，共15分)
7．如图所示，在三棱柱abc—a1b1c1中，aa1⊥底面abc，ab＝bc＝aa1，∠abc＝90°，点e、f分别是棱ab、bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是___
解析：以bc为x轴，ba为y轴，bb1为z轴，建立空间直角坐标系．
设ab＝bc＝aa1＝2，则c1(2,0,2)，e(0,1,0)，f(0,0,1)，则＝(0，－1，1)，＝2,0,2)，∴2，cos〈，〉ef和bc1所成的角为60°.
答案：60°
8．已知正方体abcd－a1b1c1d1的棱长为1，点p**段bd1上．当∠apc最大时，三棱锥p－abc的体积为___
解析：以b为坐标原点，ba为x轴，bc为y轴，bb1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，设＝λ，可得p(λ，再由cos∠apc＝可求得当λ＝时，∠apc最大，故vp－abc＝××1×1×＝.
答案：9．如图，在矩形abcd中，ab＝2，ad＝1，e为cd的中点．将△ade沿ae折起，使平面ade⊥平面abce，得到几何体d－abce.
则bd与平面cde所成角的正弦值为___
解析：如图，以点b为坐标原点，bc，ba分别为x轴，y轴，过点b与平面abce垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系．
则b(0,0,0)，c(1,0,0)，a(0,2,0)，e(1,1,0)，d(，，
设向量n＝(x0，y0,1)为平面cde的一个法向量，则n⊥，n⊥，即n·＝0，n·＝0，＝(0,1,0
x0＝，y0＝0，即n＝(，0,1)．
＝(，cos〈n，〉＝
直线bd和平面cde所成的角θ是n和夹角的余角，∴bd与平面cde所成角的正弦值为。
答案：三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
10．(15分)如图，在△abc中，∠abc＝60°，∠bac＝90°，ad是bc上的高，沿ad把△abd折起，使∠bdc＝90°.
1)证明：平面adb⊥平面bdc；
2)设e为bc的中点，求与夹角的余弦值．
解：(1)证明：∵折起前ad是bc边上的高，∴当△abd折起后，ad⊥dc，ad⊥db，又db∩dc＝d，∴ad⊥平面bdc，ad平面abd，∴平面abd⊥平面bdc.
2)由∠bdc＝90°及(1)知da，db，dc两两垂直，不妨设|db|＝1，以d为坐标原点，以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，易得d(0,0,0)，b(1,0,0)，c(0,3,0)，a(0,0，)，e，＝，1,0,0)，与夹角的余弦值为。
cos〈，〉
11．(20分)(2013·浙江卷)如图，在四面体a—bcd中，ad⊥平面bcd，bc⊥cd，ad＝2，bd＝是ad的中点，p是bm的中点，点q**段ac上，且aq＝3qc.
1)证明：pq∥平面bcd；
2)若二面角c—bm—d的大小为60°，求∠bdc的大小．
解：(1)如图，取bd的中点o，以o为原点，od，op所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系o—xyz.
由题意知a(0，，2)，b(0，－，0)，d(0，，0)．
设点c的坐标为(x0，y0,0)．
因为＝3，所以q(x0，＋y0，)．
因为m为ad的中点，故m(0，，1)．又p为bm的中点，故p(0,0，)．所以＝(x0，＋y0,0)．
又平面bcd的一个法向量为u＝(0,0,1)，故·u＝0.
又pq平面bcd，所以pq∥平面bcd.
2)设m＝(x，y，z)为平面bmc的法向量．
由＝(－x0，－y0,1)，＝0,2，1)知。
取y＝－1，得m＝(，1,2)．
又平面bdm的一个法向量为n＝(1,0,0)，于是|cos〈m，n〉|＝即()2＝3.(1)
又bc⊥cd，所以·＝0，故(－x0，－－y0,0)·(x0，－y0,0)＝0，即x＋y＝2.(2)
联立(1)(2)，解得(舍去)或。
所以tan∠bdc＝||
又∠bdc是锐角，所以∠bdc＝60°.
12．(20分)在三棱柱abc—a1b1c1中，△abc为正三角形，aa1＝ac＝2，∠a1ac＝60°，平面a1acc1⊥平面abc，n为bc的中点，点p在棱a1c1上，＝λ
1)当λ取什么值时，直线pn与平面abc所成的角θ最大？并求此时θ的正弦值；
2)求二面角c1—an—c的余弦值．
解：(1)如图，设点o为ac中点，连接a1o，ob.
a1a＝ac，∠a1ac＝60°，△a1ac为正三角形，a1o⊥ac.
平面a1acc1⊥平面abc，且平面a1acc1∩平面abc＝ac，a1o平面a1acc1，∴a1o⊥平面abc.
△abc为正三角形，∴ob⊥ac.
建立如图所示的空间直角坐标系o—xyz，则a(1,0,0)，b(0，，0)，c(－1,0,0)，a1(0,0，)，c1(－2，0，)，n.
2λ，0，)，p(－2λ，0，)，
显然平面abc的一个法向量为n＝(0,0,1)，sinθ＝|cos〈，n〉|＝
θ∈，当sinθ最大时θ最大．
当λ＝时，sinθ取得最大值。
2)由(1)得＝(3,0，－)
设平面c1an的一个法向量为m＝(x，y，z)，则。
即。取x＝1，则m＝(1，，)
平面anc的一个法向量为n＝(0,0,1)，cos〈m，n〉＝＝二面角c1—an—c的余弦值为。
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