高考数学立体几何快速提升成绩题型训练。
—立体几何中求角与距离。
1. 四棱锥p—abcd的底面是边长为a的正方形，pb⊥面abcd.
（1）若面pad与面abcd所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面pad与面pcd所成的二面角恒大于90°
2 如图，直三棱柱abc-a1b1c1的底面abc为等腰直角三角形，∠acb=900，ac=1，c点到ab1的距离为ce=，d为ab的中点。
1）求证：ab1⊥平面ced；
2）求异面直线ab1与cd之间的距离；
3）求二面角b1—ac—b的平面角。
3. 如图a—l—是120°的二面角，a，b两点在棱上，ab=2，d在内，三角形abd是等腰直角三角形，∠dab=90°，c在内， abc是等腰直角三角形∠acb=
i） 求三棱锥d—abc的体积；
2）求二面角d—ac—b的大小；
3）求异面直线ab、cd所成的角。
4. 在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．
图图②5. 已知三棱锥p—abc中，pc⊥底面abc，ab=bc，d、f分别为ac、pc的中点，de⊥ap于e．
（1）求证：ap⊥平面bde
2）求证：平面bde⊥平面bdf；
3）若ae∶ep=1∶2，求截面bef分三棱锥p—abc所成两部分的体积比．
6. 如图，几何体abcde中，△abc是正三角形，ea和dc都垂直于平面abc，且ea=ab=2a， dc=a，f、g分别为eb和ab的中点。
1）求证：fd∥平面abc；
2）求证：af⊥bd；
(3) 求二面角b—fc—g的正切值。
7. 如图，正方体abcd—a1b1c1d1的棱长为1，p、q分别是线段ad1和bd上的点，且d1p∶pa=dq∶qb=5∶12.
1) 求证pq∥平面cdd1c1；
2) 求证pq⊥ad；
(3) 求线段pq的长。
8. 如图4，在长方体。
中，ad==1，ab=2，点e在棱ab上移动。
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）当e为ab的中点时，求点e到面的距离；
（ⅲ）ae等于何值时，二面角的大小为。
9.如图，在正三棱柱abc—a1b1c1中，各棱长都相等，d、e分别为ac1，bb1的中点。（1）求证：de∥平面a1b1c1；（2）求二面角a1—de—b1的大小。
10．如图：已知直三棱柱abc—a1b1c1，ab＝ac，f为棱bb1上一点，bf∶fb1＝2∶1，bf＝bc＝2a。
（i）若d为bc的中点，e为ad上不同于a、d的任意一点，证明ef⊥fc1；
（ii）试问：若ab＝2a，**段ad上的e点能否使ef与平面bb1c1c成60°角，为什么？证明你的结论。
11.如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，ad∥bc，∠abc＝90°，且，又pa⊥平面abcd，ad＝3ab＝3pa＝3a。
（i）求二面角p—cd—a的正切值；
（ii）求点a到平面pbc的距离。
12.在直三棱柱abc—a1b1c1中，ca=cb=cc1=2，∠acb=90°，e、f分别是ba、bc的中点，g是aa1上一点，且ac1⊥eg.
ⅰ）确定点g的位置；
ⅱ）求直线ac1与平面efg所成角θ的大小。
13.已知四棱锥p—abcd，底面abcd是菱形，平面abcd，pd=ad，点e为ab中点，点f为pd中点。
（1）证明平面ped⊥平面pab；
（2）求二面角p—ab—f的平面角的余弦值。
14.在棱长为4的正方体abcd-a1b1c1d1中，o是正方形a1b1c1d1的中心，点p在棱cc1上，且cc1=4cp.
ⅰ)求直线ap与平面bcc1b1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
ⅱ)设o点在平面d1ap上的射影是h，求证：d1h⊥ap；
ⅲ)求点p到平面abd1的距离。
15.如图，在四棱锥中，底面abcd是正方形，侧棱底面abcd，，e是pc的中点，作交pb于点f。
(i)证明平面；
(ii)证明平面efd；
(iii)求二面角的大小。
16.如图，在棱长为1的正方体abcd—a1b1c1d1中，点e是棱bc的中点，点f是棱。
cd上的动点。
i）试确定点f的位置，使得d1e⊥平面ab1f；
ii）当d1e⊥平面ab1f时，求二面角c1—ef—a的大小（结果用反三角函数值表示）.
17.如图，直四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面是梯形，ab∥cd，ad⊥dc，cd=2，dd1=ab=1，p、q分别是cc1、c1d1的中点。点p到直线ad1的距离为。
求证：ac∥平面bpq
求二面角b-pq-d的大小。
18.已知长方体abcd—a1b1c1d1中，ab=bc=4，aa1=8，e、f分别为ad和cc1的中点，o1为下底面正方形的中心。
（ⅰ）证明：af⊥平面fd1b1；
ⅱ）求异面直线eb与o1f所成角的余弦值。
19. 图①是一个正方体的表面展开图，mn和pq是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将mn，pq画出来，并就这个正方体解答下列各题：
（1）求mn和pq所成角的大小；
（2）求四面体m—npq的体积与正方体的体积之比；
（3）求二面角m—nq—p的大小。
20. 如图，已知四棱锥p—abcd，pb⊥ad，侧面pad为边长等于2的正三角形，底面abcd为菱形，侧面pad与底面abcd所成的二面角为120°。
（1）求点p到平面abcd的距离；
（2）求面apb与面cpb所成二面角的大小。
答案：1. （1）正方形abcd是四棱锥p—abcd的底面， 其面积。
为从而只要算出四棱锥的高就行了。
面abcd,∴ba是pa在面abcd上的射影。又da⊥ab，∴pa⊥da，∴∠pab是面pad与面abcd所成的二面角的平面角，∠pab=60
而pb是四棱锥p—abcd的高，pb=ab·tg60°=a,2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面pad与pcd恒为全等三角形。
作ae⊥dp，垂足为e，连结ec，则△ade≌△cde，是面pad与面pcd所成的二面角的平面角。
设ac与db相交于点o，连结eo，则eo⊥ac，在。
故平面pad与平面pcd所成的二面角恒大于90°.
2. （1）∵d是ab中点，△abc为等腰直角三角形，∠abc=900，∴cd⊥ab又aa1⊥平面abc，∴cd⊥aa1.
cd⊥平面a1b1ba ∴cd⊥ab1，又ce⊥ab1， ∴ab1⊥平面cde；
2）由cd⊥平面a1b1ba ∴cd⊥de
ab1⊥平面cde ∴de⊥ab1
de是异面直线ab1与cd的公垂线段。
ce=，ac=1 , cd=
3）连结b1c，易证b1c⊥ac，又bc⊥ac ,
∠b1cb是二面角b1—ac—b的平面角。
在rt△cea中，ce=，bc=ac=1,∠b1ac=600， ∴
3. (1) 过d向平面做垂线，垂足为o，连强oa并延长至e.
为二面角a—l—的平面角。 .
是等腰直角三角形，斜边ab=2.又d到平面的距离do=
2）过o在内作om⊥ac,交ac的反向延长线于m,连结dm.则ac⊥dm.∴∠dmo 为二面角d—ac—b的平面角。 又在△doa中，oa=2cos60°=1.且。
（3）在平在内，过c作ab的平行线交ae于f，∠dcf为异面直线ab、cd所成的角。 为等腰直角三角形，又af等于c到ab的距离，即△abc斜边上的高，
异面直线ab,cd所成的角为arctg
4. 设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为，当且仅当。
故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为。
5. (1）∵pc⊥底面abc，bd平面abc，∴pc⊥bd．
由ab=bc，d为ac的中点，得bd⊥ac．又pc∩ac=c，∴bd⊥平面pac． 又pa平面、pac，∴bd⊥pa．由已知de⊥pa，de∩bd=d，∴ap⊥平面bde．
（2）由bd⊥平面pac，de平面pac，得bd⊥de．由d、f分别为ac、pc的中点，得df//ap．
由已知，de⊥ap，∴de⊥df. bd∩df=d，∴de⊥平面bdf．
又de平面bde，∴平面bde⊥平面bdf．
（3）设点e和点a到平面pbc的距离分别为h1和h2．则。
h1∶h2=ep∶ap=2∶3,故截面bef分三棱锥p—abc所成两部分体积的比为1∶2或2∶1
6. ∵f、g分别为eb、ab的中点，fg=ea，又ea、dc都垂直于面abc, fg=dc，∴四边形fgcd为平行四边形，∴fd∥gc，又gc面abc，∴fd∥面abc.
2）∵ab=ea，且f为eb中点，∴af⊥eb ① 又fg∥ea，ea⊥面abc
fg⊥面abc ∵g为等边△abc，ab边的中点，∴ag⊥gc.
af⊥gc又fd∥gc，∴af⊥fd ②
由①、②知af⊥面ebd，又bd面ebd，∴af⊥bd.
（3）由（1）、（2）知fg⊥gb，gc⊥gb，∴gb⊥面gcf.
过g作gh⊥fc，垂足为h，连hb，∴hb⊥fc.
∠ghb为二面角b-fc-g的平面角。
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