1.(2024年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））如图，ab是圆的直径，pa垂直圆所在的平面，c是圆上的点。)求证：
2.（2024年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））如图，四棱锥中，为的中点，.
1)求的长； (2)求二面角的正弦值。
3.2024年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））如图，圆锥顶点为。底面圆心为，其母线与底面所成的角为22.
5°.和是底面圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为60°.
ⅰ)证明：平面与平面的交线平行于底面； (求。
4.（2024年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））如图，在四面体中，平面，.是的中点， 是的中点，点**段上，且。
1)证明：平面；(2)若二面角的大小为，求的大小。
5.（2024年上海市春季高考数学）如图，在正三棱锥中， ,异面直线与所成角的大小为，求该三棱柱的体积。
6.（2024年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏）本小题满分14分。
如图，在三棱锥中，平面平面， ,过作，垂足为，点分别是棱的中点。
求证：(1)平面平面； (2).
7.（2024年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））如图1,在等腰直角三角形中， ,分别是上的点， ,为的中点。将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中。
ⅰ) 证明：平面求二面角的平面角的余弦值。
8.（2024年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））如图， 四棱柱abcd-a1b1c1d1中， 侧棱a1a⊥底面abcd, ab//dc, ab⊥ad, ad = cd = 1, aa1 = ab = 2, e为棱aa1的中点。
ⅰ) 证明b1c1⊥ce;
ⅱ) 求二面角b1-ce-c1的正弦值。
ⅲ) 设点m**段c1e上， 且直线am与平面add1a1所成角的正弦值为， 求线段am的长。
9.（2024年高考新课标1（理））如图，三棱柱abc-a1b1c1中，ca=cb,ab=a a1,∠ba a1=60°.
ⅰ)证明ab⊥a1c;
ⅱ)若平面abc⊥平面aa1b1b,ab=cb=2,求直线a1c 与平面bb1c1c所成角的正弦值。[**：z|xx|
10.（2024年高考陕西卷（理））如图， 四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面abcd是正方形， o为底面中心， a1o⊥平面abcd,.
ⅰ) 证明： a1c⊥平面bb1d1d;
ⅱ) 求平面ocb1与平面bb1d1d的夹角的大小。
11.（2024年高考江西卷（理））如图，四棱锥中， ,连接并延长交于。
1) 求证：;
2) 求平面与平面的夹角的余弦值。
12.（2024年高考四川卷（理））如图，在三棱柱中，侧棱底面， ,分别是线段的中点，是线段的中点。
ⅰ)在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；
ⅱ)设(ⅰ)中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值。
13.．（2024年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）本小题满分10分。
如图，在直三棱柱中， ,点是的中点。
1)求异面直线与所成角的余弦值。
2)求平面与所成二面角的正弦值。
14.（2024年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））如图，四棱锥中，与都是等边三角形。
)证明求二面角的大小。
15.（2024年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））如图所示，在三棱锥中，平面， ,分别是的中点， ,与交于点，与交于点，连接。
ⅰ)求证求二面角的余弦值。
16.（2024年高考湖南卷（理））如图5,在直棱柱， ,
)证明：; 求直线所成角的正弦值。
17.．（2024年普通高等学校招生统一考试新课标ⅱ卷数学（理））如图，直棱柱中，分别是的中点，.
ⅰ)证明：平面； (求二面角的正弦值。
18.2024年高考北京卷（理））如图，在三棱柱abc-a1b1c1中，aa1c1c是边长为4的正方形，平面abc⊥平面aa1c1c,ab=3,bc=5.
ⅰ)求证：aa1⊥平面abc;
ⅱ)求二面角a1-bc1-b1的余弦值；
ⅲ)证明：**段bc1存在点d,使得ad⊥a1b,并求的值。
19.（2024年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））如图，在四棱柱中，侧棱。
1)求证：
2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值；
3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案。问：
共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的表达式(直接写出答案，不必要说明理由)
20.（2024年高考湖北卷（理））如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面， ,分别是，的中点。
)记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；
)设()中的直线与圆的另一个交点为，且点满足。记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：.
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