1．如图，在矩形中，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面．
1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．
解（1）在中，在中，．
平面平面，且交线为，平面．
平面，∴．2）设与相交于点，由（ⅰ）知，，∴平面，平面，∴平面平面，且交线为，
如图19-2，作，垂足为，则平面，连结，则是直线与平面所成的角．
由平面几何的知识可知，∴．
在中，在中，，可求得．∴．
2．．如图组合体中，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合一个点。
1）求证：无论点如何运动，平面平面；
2）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆。
柱的体积比．
1）因为侧面是圆柱的的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合一个点，所以， 又圆柱母线平面， 平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以平面平面；
2）设圆柱的底面半径为，母线长度为，当点是弧的中点时，三角形的面积为，三棱柱的体积为，三棱锥。
的体积为，四棱锥的体积。
为， 圆柱的体积为，四棱。
锥与圆柱的体积比为。
3．如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在的平面。
和圆所在的平面互相垂直，且，.
1）求证：平面；
2）设的中点为，求证：平面；
3）设平面将几何体分成的两个锥体。
的体积分别为，，求．
1）证明：平面平面， ,平面平面=，平面，平面， ,
又为圆的直径，平面。
2）设的中点为，则，又，则，为平行四边形，
又平面，平面，平面。
3)过点作于，平面平面，平面，，平面，4．下列三个图分别是四棱锥的直观图、侧视图和俯视图。直观图中，侧。
面底面，m为ac的中点，侧视图是等边三角形，俯视图是直角。
梯形，尺寸如图所示。
1）求证：； 2）求证；；
3）求该四棱锥的体积。
解：（1）取的中点，连结，在中，为的中点。
四边形为平行四边形，2），侧面底面，平面，又是正三角形，为的中点，3）取的中点，连结，是边长为2的正三角形，又侧面底面，
5．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
1)求此几何体的体积v的大小； (2)求证以bc为直径的圆与直线ed相切。
3)求平面与平面所成的角（锐角）正切值。
解：（1）由该几何体的三视图知面，且ec=bc=ac=4 ，bd=1，．即该几何体的体积v为16．
2）取bc中点o，过点o作oq⊥de于点q，
连结eo、od，在rt△eco和rt△obd中。
以bc为直径的圆与de相切．切点为q
3）平面与平面所成的角（锐角）正切值。
6．如图，在三棱拄中，侧面，已知 （1）求证：；
2）试在棱(不包含端点上确定一点的位置，使得；
3) 在（2）的条件下，求二面角的平面角的正切值。
证（ⅰ）因为侧面，故。
在中，由余弦定理有
故有 而且平面。
ⅱ）由从而且故不妨设 ，则，则又则。
在中有从而（舍负）
ⅲ）取的中点，的中点，的中点，的中点。
连则，连则，连则， 连则，且为矩形，又故为所求二面角的平面角，在中，
7．如图，斜三棱柱abc—a1b1c1的底面是直角三角形，ac⊥cb，∠abc=45°，侧面a1abb1是边长为a的菱形，且垂直于底面abc，∠a1ab=60°，e、f分别是ab1、bc的中点。
（1）求证ef//平面a1acc1；
（2）求ef与侧面a1abb1所成的角；
（3）求三棱锥a—bce的体积。
1）∵a1abb1是菱形，e是ab1中点， ∴e是a1b中点，连a1c ∵f是bc中点， ∴ef∥a1c
a1c平面a1acc1，ef平面a1acc1， ∴ef//平面a1acc1
2）作fg⊥ab交ab于g，连eg ∵侧面a1abb1⊥平面abc且交线是ab
fg⊥平面a1abb1，∴∠feg是ef与平面a1abb1所成的角。
由ab=a，ac⊥bc，∠abc=45°，得
由aa1=ab=a，∠a1ab=60°，得
3）va—bce=ve—abc 由②eg⊥ab，平面a1abb1⊥平面abc，∴eg⊥平面abc
8．如图，斜三棱柱，已知侧面与底面abc垂直且∠bca=90°，∠2，若二面角为30°，
ⅰ）证明。ⅱ）求与平面所成角的正切值；
ⅲ）在平面内找一点p，使三棱锥为正三棱锥，并求p到平面距离。
1） 面面，因为面面＝，，所以面．
2）取中点，连接，在中，
是正三角形，，又面且面，即即为二面角的平面角为30°，面，，在中，，
又面，即与面所成的线面角，在中，
（3）在上取点，使，则因为是的中线，是的重。
心，在中，过作//交于， 面， /
面，即点在平面上的射影是的中心，该点即为所求，且，．
理科立体几何
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