18．如图，在底面为平行四边形的四棱锥p－abcd中，ab⊥ac，pa⊥平面abcd，且pa＝ab，点是pd中点。
ⅰ）求证：ac⊥pb；
ⅱ）求证： pb∥平面aec；
18. 解：（1）由pa⊥平面abcd可得paac又ab⊥ac，所以ac平面pab，所以ac⊥pb
2）如图，连bd交ac于点o，连eo，则eo是△pdb的中位线，eo∥pbpb∥平面aec
19．（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面abcd是矩形，ad=2，侧面pad是正三角形且与底面abcd垂直， e是ab中点，设pc与平面abcd所成角为。
1）证明：cd⊥平面pad；
3）求点d到平面pce的距离。
1）面abcd为矩形，∴cd⊥ad，又，面面abcd，∴cd⊥平面abcd4分。
2）取ad的中点o，连结op，oc ，oe，pad为等边，∴op⊥ad，又面面abcd，∴po⊥平面abcd，则∠pco为pc与面abcd所成的平面角，5分。
ad=2，在等边pad 中op=，opc中，oc=3 ，∴e为ab中点，∴ae=，∴在rtaoe中，oe=，同理，ce=，由，
得∠oec7分。
又op⊥平面abcd，∴pe⊥ce．
∠peo是二面角p—ce—d的平面角，，∴peo9分。
3）由（2）知pec为rt，连接de，设d到平面dec的距离为d11分。
3．如图，已知棱柱abcd—a1b1c1d1的底面是菱形，且aa1⊥面abcd，∠dab=60°，ad=aa1，f为棱aa1的中点，m为线段bd1的中点。
（1）求证：mf∥面abcd；（2）求证：mf⊥面bdd1b1
证明：（1）连结ac、bd交于点o，再连结mo，（2）
4、（本题满分12分）如图，四棱锥p—abcd中， pa平面abcd，底面abcd是直角梯形，ab⊥ad，cd⊥ad，cd=2ab，e为pc中点．
() 求证：平面pdc平面pad；
() 求证：be//平面pad．
4．证明：（1）由pa平面abcd
平面pdc平面pad；
2）取pd中点为f，连结ef、af，由e为pc中点，得ef为△pdc的中位线，则ef//cd，cd=2ef．
又cd=2ab，则ef=ab．由ab//cd，则ef∥ab．
所以四边形abef为平行四边形，则ef//af．
由af面pad，则ef//面pad．
17．（本小题满分13分）如图，在直三棱柱中点是的中点。
1)求证：;
2)求证：∥平面。
17．（本小题满分13分）
证明： (1) ∵三棱柱为直三棱柱，平面， ∴又，∴平面，
7分。(2) 令与的交点为， 连结。
是的中点，为的中点， ∴
又 ∵平面， 平面，∴∥平面13分。
19．（本小题满分12分）
已知等腰三角形pdcb中（如图1），pb=3，dc=1，pb=bc=，a为pb边上一点，且pa=1，将△pad沿ad折起，使面。
pad⊥面abcd（如图2）.
（ⅰ）证明：平面pad⊥pcd；
（ⅱ）试在棱pb上确定一点m，使截面amc
把几何体分成的两部分；
（ⅲ）在m满足（ⅱ）的情况下，判断直线pd
是否平行面amc.
19．（本小题满分12分）
（i）证明：依题意知：
2分。…4分。
（ii）由（i）知平面abcd
∴平面pab⊥平面abcd. …4分。
在pb上取一点m，作mn⊥ab，则mn⊥平面abcd，设mn=h则。6分。
要使。即m为pb的中点8分。
（ⅲ）连接bd交ac于o，因为ab//cd，ab=2，cd=1，由相似三角形易得bo=2od
o不是bd的中心………10分。
又∵m为pb的中点。
在△pbd中，om与pd不平行。
om所以直线与pd所在直线相交。
又om平面amc
直线pd与平面amc不平行。……12分。
18．（本小题满分14分）
如图，矩形中，，，为上的点，且。
ⅰ）求证：；
ⅱ）求证；；
ⅲ）求三棱锥的体积．
18解：（ⅰ证明： ，
则(2分)又，则。
(4分)（ⅱ）证明：依题意可知：是中点。
则，而。∴是中点 (6分)
在中， 8分)
ⅲ）解： 而。
10分)是中点。
∴是中点 ∴且。
∴中， 12分)
14分)如图，在矩形中，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面．
ⅰ）求证：；
19、（本小题满分13分）
解（ⅰ）在中，在中，2分。
平面平面，且交线为，平面．
平面5分。17．(本小题14分)已知：正方体，，e为棱的中点．
ⅰ) 求证。
ⅱ) 求证：平面。
ⅲ）求三棱锥的体积．
17．析：主要考察立体几何中的位置关系、体积．
解：(ⅰ证明：连结，则1分。
是正方形，∴．面，∴．
又，∴面4分。
面，∴，5分。
ⅱ）证明：作的中点f，连结．
是的中点，∴ 四边形是平行四边形，∴．7分。
是的中点，∴，又，∴．
四边形是平行四边形， /平面面9分。
又平面，∴面． …10分。
311分。14分。
12分）如图，已知直平行六面体abcd—a1b1c1d1中，ad⊥bd，ad=bd=a，e是cc1的中点，a1d⊥be。
（1）求证：a1d⊥平面bde；
（2）求二面角b—de—c的大小。
（3）求点b到平面a1de的距离。
1）∵aa1⊥面abcd， ∴aa1⊥bd，又bd⊥ad， ∴bd⊥a1d2分。
又a1d⊥be，∴a1d⊥平面bde3分。
2）连b1c，则b1c⊥be，易证rt△cbe∽rt△cbb1,，又e为cc1中点，∴
5分。取cd中点m，连bm，则bm⊥平面cd1，作mn⊥de于n，连nb，则∠bnm是二面角b—de—c的平面角7分。
rt△ced中，易求得mn=中，∠bnm=
∠bnm=arctan10分。
3）易证bn长就是点b到平面a1de的距离11分。
∠bn12分。
18. (本题满分14分)
已知四棱锥的底面是菱形，平面， 点为的中点。
ⅰ）求证：平面；
（ⅱ）求证：平面。
18.(本题满分14分)
ⅰ）证明： 连结，与交于点，连结。……1分。
是菱形， 是的中点。
点为的中点4分。
平面平面，平面7分。
ⅱ)证明： 平面，平面，10分。
是菱形12分
平面14分。
18．（本小题满分14分）
如图4所示，四棱锥中，底面为正方。
形，平面，，，分
别为、、的中点．
1）求证：pa∥平面；
2）求三棱锥的体积．
18．（本小题满分14分）
本小题主要考查空间中线面关系，考查数形结合的数学思想和方法，以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力）
1）证法1：如图，取的中点，连接，分别为的中点，∴．
分别为的中点，∴．
四点共面2分。
分别为的中点4分。
平面，平面，平面6分。
证法2：∵分别为的中点，2分，∴．平面平面． …5分。
平面，∴平面6分。
2）解：∵平面，平面，∴．
为正方形，∴．平面8分。
10分，14分。
18.（本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面，且，若、分别为、的中点。
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