1．如图：四棱锥p—abcd中，底面abcd是矩形，pa⊥底面abcd，pa=ab=1，ad=，点f是pb的中点，点e在边bc上移动。
1）证明：无论点e在bc边的何处，都有pe⊥af;
2）当be等于何值时，pa与平面pde所成角的大小为45°.
2．已知直角梯形，是边上的中点（如图甲），，将沿折到的位置，使，点在上，且（如图乙）
ⅰ）求证：平面abcd.
ⅱ）求二面角eacd的余弦值。
3．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别是的中点．
1)求证：；
2)在平面内求一点，使平面，并证明你的结论；
3)求与平面所成角的正弦值．
4．如图，边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将△、△分别沿、折起，使、两点重合于点，连接，．
1）求证：；
2）求二面角的余弦值．
如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知。
1）设是上的一点，证明：平面平面；
2）求二面角的余弦值。
6．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点。
1）求证：∥平面；
2）求证：；
3）**段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。
7．如图（1），等腰直角三角形的底边，点**段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2））．
ⅰ）求证：；
ⅱ）若，直线与平面所成的角为，求长．
参***。1：解：(1) 建立如图所示空间直角坐标系，则p（0，0，1），b（0，1，0），
设。af⊥pe
2）设平面pde的法向量为，由得，而，因为pa与平面pde所成角的大小为45°，所以sin45°= 即，得be=x= ，或be=x=（舍去）.
考点：1.向量数量积的性质；2.向量夹角公式的应用。
2：（ⅰ证明：在题图中，由题意可知，abcd为正方形，所以在图中，四边形abcd是边长为2的正方形，因为，且，所以平面sab3分）
又平面sab，所以，且，所以平面abcd6分）
ⅱ）解：方法一： 如图，在ad上取一点o，使，连接eo．
因为，所以eo//sa7分）
所以平面abcd，过o作于h，连接eh，则平面eoh，所以．
所以为二面角eacd的平面角9分）
在rt△aho中，11分）
所以二面角eacd的余弦值为12分）
方法二：以a为原点建立空间直角坐标系，如图，7分）
易知平面acd的法向量为，设平面eac的法向量为，9分）
由所以可取
所以11分）
所以，所以二面角eacd的余弦值为12分）
考点：线面垂直，二面角．
3：以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系(如图)，设，则，，，
1) 因为，所以。 4分。
2)设，则平面，所以，所以。
点坐标为，即点为的中点8分。
3)设平面的法向量为．
由得，即，取，则，，得．
所以，与平面所成角的正弦值的大小为 13分。
考点：空间向量与立体几何。
4：（1）在正方形中，有。则。又
平面 而平面。
2）方法一：连接交于点，连接。
在正方形中，点是的中点，点是的中点，点为的中点，且
正方形的边长为2
为二面角的平面角
由（1）可得，△为直角三角形
正方形的边长为2，又。
二面角的余弦值为。
方法二：∵正方形的边长为2，点是的中点，点是的中点，
由（1）得平面，分别以，，为，轴建立如图所示的空间直角。
坐标系。则，设平面的一个法向量为，则由，可取
又平面的一个法向量可取。
二面角的余弦值为。
考点：线面垂直的判定及性质，二面角的求法。
5：（1）证明：在中，由于， ,故。
又，，又，故平面平面5分。
2）法。一、如图建立空间直角坐标系，,
设平面的法向量， 由。
令，.设平面的法向量，由。
即，令。二面角的余弦值为12分。
法二、由（1）知平面，所以平面平面。
过作交于，则平面。
再过作交于，连结，则就是二面角的平面角。
由题设得。由勾股定理得：
所以。二面角的余弦值为12分。
考点：1、面面垂直的性质和判定定理；2、二面角的求法。
6：（1)连结交于，连结，因为四边形为正方形，所以为的中点，又点为的中点，在中，有中位线定理有//，而平面，平面，所以， /平面。
2）因为正方形与矩形所在平面互相垂直，所以，而，所以平面，又平面，所以。
3）存在满足条件的。
依题意，以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为，则，，，所，
易知为平面的法向量，设，所以平面的法向量为，所以，即，所以，取，则，又二面角的大小为，所以，解得。
故**段上是存在点，使二面角的大小为，且。
考点：空间中的平行问题、垂直问题，用向量法求解二面角问题。
7：（ⅰ平面，又，；
分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）
设，则，，，
可得， 设平面的法向量，，令，可得，因此是平面的一个法向量，，与平面所成的角为，，即，解之得：，或（舍），因此可得的长为．
考点：直线与平面的位置关系、空间向量的应用。
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